群論の問題です。

質問

群論の問題です。
整数全体がなす加法群Zに対して、G＝Z×Z＝{ ( a,b ) ｜a,b ∈ Z } とおき
これを成分ごとの加法 ( a , b )＋( a' , b' )＝( a＋a' , b＋b' ) により群と見なす。

２元 x = ( 2 , 4 ) , y = ( 6 , 8 )により生成される群Gの部分群Hとし、
写像 φ : G → H を
φ(( a , b )) = ( 2a ＋ 6b , 4a ＋ 8b) = ax ＋ by
により定義する。ことのきつぎの問いに答えよ。

(１)φは群の同型写像であることを示す。
(２)φによるHの像 K＝ φ (H) ＝ { φ ( h ) | h ∈ H } はGの部分群であることを示す。
(３)GのKによる剰余群 G / H に対して群の同型
G / H ≅ Z / mZ × Z / nZ
がなりたつような自然数 m , n で m が n の約数となるものを求める。

(１)、(２)は示すことができたのですが、
(３)の考え方がよくわかりません。

できるだけわかりやすく教えていただけるとうれしいです…

よろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp

Z=(全整数)
G=Z×Z={(a,b)|a,b∈Z}
(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b')
x=(2,4),y=(6,8)
φ:G→H
φ((a,b))=(2a+6b,4a+8b)=ax+by
(1)
φ(G)=H

(3)
G/HはGのHによる剰余群であってKによる剰余群ではありません
{(r,s)}={(t,u)}∈G/H
m=2
n=4
とすると
(r,s)-(t,u)=(r-t,s-u)∈H=φ(G)
だから
r-t=2(a+3b)∈2Z=mZ
s-u=4(a+2b)∈4Z=nZ
となる(a,b)∈Gがある
から
f:G/H→{Z/(2Z)}×{Z/(4Z)}
{(r,s)}∈G/H→(mod(r,2),mod(s,4))
とfを定義できる

任意の((r),(s))∈{Z/(2Z)}×{Z/(4Z)}に対して
{(r,s)}∈G/H
mod(r,2)=(r)
mod(s,2)=(s)
だからfは全射

任意の{(r,s)},{(t,u)}∈G/Hに対して
f({(r,s)}+{(t,u)})=f({(r+t,s+u)})=(mod(r+t,2),mod(s+u,4))
=(mod(r,2),mod(s,4))+(mod(t,2),mod(u,4))
=f({(r,s)})+f({(t,u)})
だからfは準同型

{(r,s)},{(t,u)}∈G/H
f({(r,s)})=f({(t,u)})
とすると
mod(r,2)=mod(t,2)
mod(s,4)=mod(u,4)
mod(r-t,2)=0
mod(s-u,4)=0
r-t=2v
s-u=4w
となるv,w∈Zがある
b=v-w
a=3w-2v
とすると
a,b∈Z
a+3b=v
a+2b=w
r-t=2v=2(a+3b)=2a+6b
s-u=4w=4(a+2b)=4a+8b
↓
(r-t,s-u)=(2a+6b,4a+8b)=φ((a,b))∈φ(G)=H
↓
{(r,s)}={(t,u)}
↓
fは単射
↓
fは(全単射準)同型
↓
G/H=～=Z/(2Z)×Z/(4Z)

補足

解答ありがとうございます。
Gの剰余群 G/K に対して
G/K ≅ Z/mZ × Z/nZ　でした。
すみません…

もしよかったら教えていただけますか…？