大学の数学（代数）の問題です。

質問

問）群G1からG2への写像f：G1→G2は群準同型写像であるか。群準同型写像であるならばｆの像Imf及び核Kerfを求め、群準同型写像でなければその理由を述べよ。（Snをｎ次対称群、Zは整数全体のなす集合あるいは加法群）

(1)G1＝S5、G2=Z；ｆ（σ）＝ｌ（σ）（σ∈S5）。ここに、ｌ（σ）はσを互いに素な巡回置換の積で表した時に現れる、長さの最も大きい巡回置換の長さ。

(2)G1=Z/９Z、G2=Z/３Z；ｆ（ｘ＋９Z）＝２ｘ＋３Z（ｘ∈Z）

です。誰かわかる方解答よろしくお願いします。

回答No.2

kup3kup3

こんにちは。G1,G2が群のとき、G1,G2の群演算を「・」で表すことにする。一般に
2つの群演算の記号は異なるがここでは同じ記号を便宜上使うことにする。そのとき
写像f:G1→G2が準同型であるとは、
「∀x∈G1,∀y∈G1に対し、f(x・y)=f(x)・f(y)が成り立つこと。」これを確認すればよい。

[1]はG1の群演算は置換の積、G2=Zは加法群であるから、「∀x∈S5,∀y∈S5に対し
f(xy)=f(x)+f(y)・・・(1)となれば、準同型である。」No1の回答者の方は鋭いので
ポイントしか書いてない。解説してみる。s=(123)　とすると、s^(-1)=(123)^(-1)=(132)　
となる。(何故なら(123)(132)=e　単位元）(123)は長さ3の巡回置換。
よってfの定義からf(s)=f(123))=3,s^(-1)=(123)^(-1)=(132)も長さ3の巡回置換。
ゆえにf(s)+f(s^(-1))=3+3=6　・・・(2)　一方ss^(-1)=e　でeは長さ1の
巡回置換だからf(s(s^(-1))=f(e)=1　・・・(3)　(2)(3)より、
f(s(s^(-1))≠f(s)+f(s^(-1))　ゆえにf(xy)≠f(x)+f(y)となるような
x=sとy=s^(-1)が存在したので(1)が成り立たず、準同型ではない、ということです。
私の考えた例では、x=(12),y=(1234)としたとき、f(x)=2,f(y)=4　よってf(x)+f(y)=2+4=6　
だが、xy=(12)(1234)=(234)　ゆえにxyは長さ3の巡回置換となり、f(xy)=3　ゆえに
f(xy)≠f(x)+f(y)　となって「∃x,∃y　st　f(xy)≠f(x)+f(y)」となるので(1)は否定され
fは準同型でなくなる。ではどういう場合にf(xy)=f(x)+f(y)となるかというと、例えば
x=(12),y=(345)のような場合である。巡回置換x,yの中に共通な数字がないとき
などである。
[2]
について：G1=Z/9Z,G1=Z/3Zともに加法群の場合を考えている。まずfの定義が
well-definedであることを示そう。x,y,x'∈Zとする。
x≡x' (mod　9)のとき、⇔x-x'≡0 (mod　9)⇔x-x'は9の倍数　⇒x-x'は3の倍数
⇔x-x'≡0 (mod　3)　⇒x≡x' (mod　3)⇒2x≡2x' (mod　3)　つまり
x≡x' (mod　9)のとき2x≡2x' (mod　3)　となってwell-definedである。
x.y∈Zをとったとき、f(x+9Z+y+9Z)=f(x+y+9Z)=2(x+y)+3Z=2x+2y+3Z・・・(4)　ここで
2x+2y+3Z=(2x+3Z)+(2y+3Z)=f(x)+f(y)・・・(5)。　(4)(5)から
f(x+9Z+y+9Z)=f(x)+f(y)　x,yは任意であるからfは準同型である。
次に
(ア）x={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}　(mod　9)のとき、2x={0,2,4,・・・,18}　(mod　3)
2x={0,2,1,・・・,0}　(mod　3)は{0,1,2}　(mod　3)となる。ゆえにImf=Z/3Z(答え)
[fは全射ということ]
(イ)　Kerfを求める。f(x)=0⇔　2x≡0 (mod　3)⇔x≡0 (mod　3)⇔x∈3Z,　
3ZはZの部分群で、Kerfは定義域の部分集合だから、kerf=3Z/9Z（答え)となる。
[補足]
3Z={0,±3,±6,±9,・・・}だから、3Z/9Z={0,3,6}　(mod　9)となり、
「3Z/9Z　同型　Z/3Z」が言える。

回答No.1

alice_44

(1) 準同型ではない。
巡回置換 s = (1 2 3) を考えると、
f(s) = f(sの逆元) = 3,
f((sの逆元)s) = f(単位置換) = 1
だから、Z の加法に従っていない。

(2) 準同型である。
群表を書き出してみれば解る。
Im f = Ker f = Z/3Z.