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代数学の問題

1.A=(1,2,3) B=(1,2,3,4)のとき、AとBは1対1対応にならないことを示せ 2.準同型写像f:G⇒G'において像f(G)はG'の部分群であることを示せ。 3.群Gの中心ZはGの正規部分群であることを示せ。 4.NをGの正規部分群、PをGの一つのpシロー群とすると、NP/NはG/Nのpシロ  ー群であることを示せ。 レポート問題を合格はしていますが、ここの問題を白紙で出して合格したので結局わからないまま講義を終えてしまいました。 教科書を読んでもよくわからないので、解説をお願いします。

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みんなの回答

  • 回答No.3
noname#199771
noname#199771

1.は自己解決したんですね? たとえば2.なら >教科書には部分群は >(1)a、b∈H ⇒ ab∈H >(2)a∈H ⇒ aの逆元∈H >を満たすというふうにかかれていました。 でのHをf(G)だと思えばいいです。 f(G)の元は何かわかりますか? 指針とか例題とかそんな大げさな話では ないです。 そもそもこの手の問題は教科書を読む のが大前提なのですがあなたは1ページ も読んでないように見えます。 読まずに解けるはずありません。 読みましょうよ。

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  • 回答No.2
noname#199771
noname#199771

>具体的にどう解答していくのかがわかりませんでした。 では、1.については#1でやり方を書いたので それに沿って自分なりに解答を作ってみてください。 2.でG、G'が何者かが不明です。G、G'は何ですか? fが準同型写像とはどういうことか書いてください。 部分群であることを示すには何を示せばいいか書いて ください。 中心の定義を書いてください。 正規部分群の定義を書いてください。 pシロー群の定義を書いてください。 NP/NとかG/Nという記号は何だかわかりますか? 何を表すか書いてください。 これらのことはすべて教科書に書いてあります。 >そこまでは理解できてます。 なのであればおわかりですよね?

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 自分なりに回答をしてみましたので、補足などをおねがいします。 2.準同型写像f:G⇒G'において像f(G)はG'の部分群であることを示せ。 ★G、G'が何者かが不明です。G、G'は何ですか? →Gは群です。 (1)結合法則が成立 (2)単位元の存在 (3)逆元の存在 の(1)~(3)を満たすものです。 ★fが準同型写像とはどういうことか書いてください。 →f(ab)=f(a)f(b)が常に成立する。 ★部分群であることを示すには何を示せばいいか書いてください。 →ここがわかりません。 教科書には部分群は (1)a、b∈H ⇒ ab∈H (2)a∈H ⇒ aの逆元∈H を満たすというふうにかかれていました。 3.群Gの中心ZはGの正規部分群であることを示せ。 ★中心の定義を書いてください。 →群Gの元aに共役な元aだけであるとき、G=C(a)となり、aは群Gの任意の元と可換である。このような元の集合をGの中心という ★正規部分群の定義を書いてください。 →wikipediaによると、G の任意の元 a に対して a-1Na ⊆ N が成り立つ を確認すればよいみたいです。 4.NをGの正規部分群、PをGの一つのpシロー群とすると、NP/NはG/Nのpシロー群であることを示せ。 ★pシロー群の定義を書いてください。 群Gの位数gを割る素数Pの最高べきをPrとする。このとき、G=Prg’とすればPとgは互いにそである。 このとき位数Prの部分群をpシロー群という ★NP/NとかG/Nという記号は何だかわかりますか? 正規部分群Nによる剰余群という意味です。 G/N=(Na|a∈H)について、(Na)(Nb)=N(ab)と定義すれば、この積に対して群をつくる。 定義とかの情報はわかりましたが、やはり解答の指針というか例題があまりないため、ここからどのように解答していけばよいのかを教えていただけないでしょうか

  • 回答No.1
noname#199771
noname#199771

1.1対1対応が存在するとして矛盾を導きます。 2.~4.定義を満たすかどうか確かめるだけですよ。 >教科書を読んでもよくわからないので どごかわからないのでしょう?

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 そこまでは理解できてます。 具体的にどう解答していくのかがわかりませんでした。 参考になる解答例を教えてください

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