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代数学の問題です

G:群 |G|=45に対し、G=S3×S5となることを示せ。 S3:シロ―3部分郡 S5:シロ―5部分郡 シローの定理が必要だとおもうのですが。。。 <シローの定理> (1)p^r | |G| ==> Gは位数p^rの部分群をもつ よってシローp-部分群は存在する (2)H: Gのp-部分群とすれば Hを含むシローp-部分群が存在する (3)シローp-部分群は互いにG共役 (4)シローp-部分群の個数は 1+k*p の形 (k∈Z,k≧0) よろしくお願いします。

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一箇所まちがった・・・ =========== S5は正規部分群なので S5の生成元bとS3の元aに対して a(b^k)a^{-1}はS5の元なので a(b^k)a^{-1} = b^l とおける ab^k = (b^l) a つまり,S3の元aとS5の元bに対して あるS5の要素b'が存在して ab = b'a となる. よって S3S5の要素 ab とa''b''に対して aba''b'' = a (ba'') b'' = a (a''b')b'' =(aa'')(b'b'') となるのでS3S5はGの部分群である ========= ここの最初のほうがS3とS5の役割が逆で S3がGの正規部分群だから S3の元aとS5の元bに対して bab^{-1}がS3の元. つまり bab^{-1}=a' となるS3の元a'が存在する つまり ba=a'b となる だから, (ab)(a''b'') = a(ba'')b'' = a(a'b)b'' = aa'(bb'') こうじゃないとだめ. 何をスタートにして何をえるか, 積の順番とかをきちんとしないとダメでした.

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質問者からのお礼

ちょっと引っかかっていたことも納得しました。 本当に丁寧なご回答、 ありがとうございました。

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なんかちょっと前に位数6の群の決定も答えた気がする 流行なのか・・(^^; 泥臭くやってみる たぶんもっとすっきり解く手はあると思う 質問文にあるシローの定理は大事な結果が欠けてる. pシロー群の個数は|G|/(pシロー群の位数)の約数だということは重要 位数45= 3^2 * 5 シローの定理より 3シロー群が存在する 3シロー群の個数は 1+3k 個で 1+3k は5の約数 よって 3シロー群はひとつだけ存在 つまり,唯一の3シロー群S3はGの正規部分群 5シロー群の個数も 1+5k で9の約数なので,結局ひとつだけで その唯一の5シロー群S5もGの正規部分群 S3∩S5の元をaとすると aはS5の元なのでaの位数は1が5 一方aはS3の元なのでaの位数は1か3か9 したがってaの位数は1 つまり S3∩S5={e}:eはGの単位元 一方,S3S5={ ab | aはS3の元,bはS5の元}とおく S5は正規部分群なので S5の生成元bとS3の元aに対して a(b^k)a^{-1}はS5の元なので a(b^k)a^{-1} = b^l とおける ab^k = (b^l) a つまり,S3の元aとS5の元bに対して あるS5の要素b'が存在して ab = b'a となる. よって S3S5の要素 ab とa''b''に対して aba''b'' = a (ba'') b'' = a (a''b')b'' =(aa'')(b'b'') となるのでS3S5はGの部分群である したがって,S3S5の位数は45の約数1,3,5,9,15,45のどれかである S3S5の位数は 9+5-1 = 13 以上は明らかである(S3とS5の元すべてと共通部分のeを考える). これに加えて S5の生成元をbとしたとき S3のe以外の元aを一つとり,abを作る.これはS3S5の元である abがS5の元だとすると ab=b^kとおけるがこれは a=b^{k-1}となるのでaはS5の元となるが S3との共通部分が{e}なので矛盾 abがS3の元だとしても同様に矛盾 したがって ab はS3S5の14個目の元 同様にa^2bを考える a^2bはabではなく(a^2b=abとするとa=e),これもS3S5の元で,S3,S5の元ではない a^3bはabではなく(a^3=abとするとa^2=eだがS3には位数2の元はない), a^2bでもない(a^3b=a^2bとするとa=e),S3S5の元で,S3,S5の元ではない これよりS3S5には少なくとも16個の元がある よって S3S5の位数は16以上,すなわち45であり G=S3S5である したがって G=S3 x S5 である(これは直積の性質よりわかるが・・・群論の教科書参照)

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質問者からのお礼

ご丁寧な回答ありがとうございました。 とてもすっきりしました(^^) 流行りなのか分かりませんが(笑) 本当に助かりました。 あらためて、ありがとうございました。

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