次の代数学の真偽について教えて下さい(理由も)

質問

1.有限個の元からなる巡回群の位数は素数である。
2.同じ素数を位数とする有限群GとG'は同型である。
3.Snの偶置換全体からなる部分集合はSnの部分群である。
4.Snの奇置換全体からなる部分集合はSnの部分群である。
5.群Gの指数2の部分群は正規部分群である。
6.群の準同型写像f:G→G'の像Im(f)はG'の正規部分群だ。
7.群の準同型写像f:G→G'の核Ker(f)はGの正規部分群だ。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

1.有限個の元からなる巡回群の位数は素数とは,偽
Z/4Z={0,1,2,3}
1+1=2,1+1+1=3,1+1+1+1=0
だからZ/4Zは4(有限)個の元からなる巡回群だけれども
位数4は素数ではない(4=2*2の合成数である)

2.同じ素数を位数とする有限群GとG'は同型である。真
G,G'を同じ素数pを位数とする有限群として
単位元をeとすると
|G|=|G'|=p>1だから
e≠x∈G,e≠y∈G',となるx,yがある
1元xで生成される巡回群を[x]として
1元yで生成される巡回群を[y]とすると
[x]はGの部分群,[y]はG'の部分群となる
[x],[y]の位数|[x]|,|[y]|はいずれも素数pの約数で
x≠e≠yだから|[x]|≠1≠|[y]|だから
|[x]|=|G|=p=|G'|=|[y]|だから
[x]=G,[y]=G'だからG,G'は
いずれも素数位数pの巡回群となるから
写像
f:[x]=G→[y]=G'を
f(x^n)=y^n
を定義するとfは同型写像となるから
同じ素数を位数とする有限群GとG'は同型である。

3.Snの偶置換全体からなる部分集合はSnの部分群である。真
Snの任意の2つ偶置換をσ,τとすると
ある偶数2m個の互換{s_k}_{k=1～2m}と
ある偶数2n個の互換{t_k}_{k=1～2n}があって
σ=Π_{k=1～2m}s_k
τ=Π_{k=1～2n}t_k
だから
その積
στ=(Π_{k=1～2m}s_k)(Π_{k=1～2n}t_k)
は2(m+n)(=偶数)個の互換の積で偶置換だから
Snの偶置換全体からなる部分集合はSnの部分群である。

4.Snの奇置換全体からなる部分集合はSnの部分群とは,偽
S2={1,(1,2)}
(1は恒等置換で単位元,(1,2)は1と2の互換)
の奇置換全体からなる部分集合は
{(1,2)}
だから
(1,2)(1,2)=1≠(1,2)
だから
S2の奇置換全体からなる部分集合
{(1,2)}はS2の部分群ではない

5.群Gの指数2の部分群は正規部分群である。真
群Gの指数2の部分群をHとして
s∈G-H
とすると
Gの左剰余類は{H,sH},右剰余類は{H,Hs}
だから
G=H∪(sH)=H∪(Hs),H∩(sH)=φ,H∩(Hs)=φ
だから
sH=G-H=Hs
だから
群Gの指数2の部分群は正規部分群である

6.群の準同型写像f:G→G'の像Im(f)はG'の正規部分群とは,偽
G=S2={1,(1,2)}
G'=S3={1,(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3),(1,3,2)}
f:S2→S3
f(1)=1
f((1,2))=(1,2)
とすると
fは準同型
Im(f)=S2={1,(1,2)}
(置換の積の順序は右から左へとすると)
(1,3)Im(f)={(1,3),(1,2,3)}≠{(1,3),(1,3,2)}=Im(f)(1,3)
だから
Im(f)はG'の正規部分群ではない

7.群の準同型写像f:G→G'の核Ker(f)はGの正規部分群だ。真
群の準同型写像f:G→G'の核をKer(f)
任意のa∈G-Ker(f)
s∈a{Ker(f)}a^{-1}
単位元をe
とすると
s=ata^{-1}となるt∈Ker(f)がある
f(s)
=f(ata^{-1})
=f(a)f(t)f(a^{-1})
=f(a)f(a^{-1})
=f(e)
=e
だから
s∈Ker(f)
a{Ker(f)}a^{-1}⊂Ker(f)
a^{-1}∈G-Ker(f)だから
a^{-1}{Ker(f)}a⊂Ker(f)だから
a{Ker(f)}a^{-1}=Ker(f)だから
群の準同型写像f:G→G'の核Ker(f)はGの正規部分群である

お礼

丁寧に回答ありがとうございました。