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G,G'を有限群とし,ψ:G→G'を準同型とするとき

G,G'を有限群とし,ψ:G→G'を準同型とするとき Im ψの位数がG,G'の位数の約数となることを証明せよ. また,G,G'の位数が互いに素なとき,GからG'への準同型写像をすべて求めよ. という問題なのですが,Im ψがG'の部分群であり,ラグランジュの定理より Im ψの位数がG'の位数となることはわかるのですが,他がわかりませんどなたか解説お願いします.

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準同型定理より、G/kerΨとImΨは同型となるからGの位数は ImΨの位数とkerΨの位数の積になるから、ImΨの位数はGの約数である。 したがって、ImΨの位数はGの位数とG'の位数の公約数である。 ImΨの位数が2以上と仮定すると、ImΨの位数はGの位数とG'の位数の 2以上の公約数となり、Gの位数とG'の位数が互いに素であることに反する。 したがって、ImΨの位数が1である。 またG,G'の単位元をそれぞれe,e'とする Ψ(e)=Ψ(e*e)={Ψ(e)}{Ψ(e)}={Ψ(e)}^2よりΨ(e)=e'がいえる。 ImΨの位数が1であることを考慮するとImΨ={e'} よって、ΨはGの任意の元xをe'に移す、すなわち Gの任意の元xに対して、Ψ(x)=e'となる。

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