群論の基礎で・・・

質問

今群論を勉強しているのですが、勉強を進めていてわからないところがいくつかあって困っています。どなたか教えていただけると嬉しいです。

(1)「Gを有限群、Hをその部分群、とする時
Gの元の位数、は、Gの位数、の約数である。」

と、あったのですが、これは何故でしょうか。。

(2)「写像fを、R(実数)-{0} → C(複素数)-{0}
　　　　　　　　　θ　　　　　→　　　exp(2πiθ)
で定めるとき、これは準同型写像」

とあったのですが、準同型の定義に従って、R-{0}の２つの元としてθ,ψをとってきて、f(θψ)=f(θ)f(ψ)が成立することを確認しようとすると、(左辺)=exp(2πiθψ)、(右辺)=exp(2πiθ)・exp(2πiψ)=exp(2πi(θ+ψ))となり、この２つが等しいとは思えません。

f(θψ)=f(θ)f(ψ)が成り立つためには、R-{0}内での演算は＋(足し算)で、C-{0}内での演算は×(掛け算)、というふうに演算が定められている、と、考えるのかな？と思ったのですが、違う演算が定義された群同士を結ぶ写像が準同型になる、というのは許されるのですか？

長くてわかりにくい文章になってしまいすみません。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

fsfs · ベストアンサー

#1の人の回答とその回答に対するお礼を受けて、

１）Ｇの元ｇをとると
Ｊ＝｛ｇ＾０、ｇ＾１、ｇ＾２、。。。。｝
はＧの部分群になります。Ｇが有限群なら
Ｊの位数＝ｇの位数
なので、ｇの位数はＧの位数の約数になります。

２）
＞違う演算が定義された群同士を結ぶ写像が準同型になる、というのは許されるのですか？

許されると思います。
写像が、R → C-{0}
で
「R/ZとTが同型」
なのでしょう。

お礼

わかりやすいご説明をありがとうございます。

(1)理解できました！！

(2)なるほど、ではやはりテキストのf:R-{0}→C-{0}はf:R→C-{0}の間違いだったのでしょうね。私もそれなら納得がいきます。

違う演算が定義された群間の準同型写像が許されるのか、ということについてはおそらく自分自身まだあいまいな理解な為そこまでしっくりきません、もっと勉強してみます。

お二方ともどうもありがとうございましたm(_ _)m

回答No.1

rinkun

以下の点を再確認願いたい。

(1)仮定にHがあって、結論にないのは変じゃない?
　「Hの位数はGの位数の約数である」ではない?

(2)通常、R-{0}を群にするときは×(掛け算)を演算にする。C-{0}も同様だ。＋(足し算)で演算を入れても群にならんよ。足し算で演算を入れるのはRだね。
写像が、R → C-{0}なら正しいと思うけど。

お礼

回答ありがとうございます。

(1)確かに・・・そうですね、変ですね。
Gの部分群をHとする時に |G|＝|G:H|・|H| っていうことは理解できます。なのでその「(i)Hの位数はGの位数の約数」というのはわかります。テキストでは、上の(i)に続く形で「(ii)Gの元の位数はGの位数|G|の約数である」と書いてあるんですが、これはどういうことなんでしょう…、と思ったので。

(2)確かにR-{0}には＋を入れても単位元がないんじゃ群にならないですね！ならやはり×ですか。うーん、これ準同型定理を応用して同型写像を具体的に例示してみる、という部分にあった記述なんですが、「Im'(f)=T(１次元トーラス)」で「Ker(f)=Z(整数)」より「R/ZとTが同型」と結論されてるんです。結論のR/Zの部分、R-{0}/Zじゃないんですよね…。ミスプリントでしょうか。

すみません質問続きですがよろしくお願いします。