既約剰余類群の部分群について

質問

群論の問題です。
大学のレポート課題ですが、途中までしかわからず困っているため、お時間のある方ご回答よろしくお願いいたします。

問
既約剰余類群（z／7z)^*の部分群を全て求めよ。

答
部分群の位数は群の位数の約数なので、1,2,3,6のどれかである。
ここまでしかわかりません、、

回答No.5

koko_u_u · ベストアンサー

> 同様に考えると、位数3の部分群は、｛￣1、￣2、￣4｝と｛￣1、￣3、￣5｝になりました。
> これであっていますでしょうか。

間違ってますが、そうやって色々試してみることが重要です。

お礼

もう一度丁寧に考え直してみます。

ありがとうございました。

回答No.4

koko_u_u

> 位数2の部分群は｛￣１、￣６｝

それはどうやって求めたのですか？
2個の元からなる （z／7z)^* の部分集合をしらみつぶしで探したのですか？

お礼

回答ありがとうございます。

位数2の部分群は、￣1と￣6はそれぞれそれ自身が逆元となっていることと、演算結果である￣６が｛￣1、￣6｝に属していることから、部分群の定義を満たしていると考えました。
その他の二つの元の組み合わせでは、仮に逆元が部分集合に属しているものを考えた場合、｛￣2、￣4｝と｛￣3、￣5｝がありますが、これらは演算したもの（￣2×￣4=￣1、￣3×￣5=￣2）が部分集合に含まれないために部分群ではないと思いました。

同様に考えると、位数3の部分群は、｛￣1、￣2、￣4｝と｛￣1、￣3、￣5｝になりました。これであっていますでしょうか。

私は、（z／7z)^*と（z／7z)を混乱してしまっていたようです。なので、各元の逆元を間違えていました。位数1の部分群はもちろん｛￣１｝ですよね。

昨日からお付き合いくださり、ありがとうございました。
自分の簡単な間違いに気がつかなかったことを反省しています。

補足

すみません、￣3×￣5=￣1でした。

それから、下の文章は問題を再考した結果です。
当初、￣1の逆元は￣6だと思っていたので、たまたま位数2のときのみ回答が一致していました。

回答No.3

Tacosan

「位数1と3の部分群がよくわかりません」ってどういうこと?
「部分群の定義より」って書いてるくらいなんだから当然「部分群の定義」は理解できてるんでしょ? だとしたら, それなりの大きさの「剰余類の集合」に対し「部分群の定義」を使ってただひたすら「調べる」だけでいい.

これのどこに「わからない」ところがあると?

どうしてもわからんというなら次のことをやってみるといい:
まず「群」というものを定義し, さらに「部分群の定義」を書いてみよう. その上で集合 { 1, 2, 3 }, { 1, 2, 4 }, { 2, 4, 6 }が (Z/7Z)* の部分群かどうかをその「部分群の定義」にあてはめて調べてみる.

あぁ, でも「位数 1 の部分群が分からない」というのは人に聞いてるような状況じゃないかもしれん. 代数構造について最初っからやり直すべきかも.

お礼

回答ありがとうございます。

私は既約剰余類と位数について理解不足なのに、答えを知ろうとだけしていました。

もう一度最初から勉強し直します！

回答No.2

koko_u_u

>部分群の位数は群の位数の約数なので、1,2,3,6のどれかである。
>ここまでしかわかりません、、

部分群すべてを求められているので、次は位数 1の部分群、位数2の部分群、位数3の部分群、位数6の部分群を求めるのは当然ですね。

ちなみに （z／7z)^* の位数をどうやって求めたのかも補足にどうぞ。

補足

回答ありがとうございます。（z／7z)^*の位数は、群の元の個数で、￣1から￣6までの6つとしました。

部分群の定義より、
位数2の部分群は｛￣１、￣６｝
位数6の部分群は（z／7z)^*
かなと思うのですが、位数1と3の部分群がよくわかりません。。

回答No.1

Tacosan

「部分群」の定義がわかっていれば (かつ十分な時間があって計算を間違えなければ) 必ず答えにたどりつくはずなんだが.

お礼

回答ありがとうございます。