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同型であることの示し方を教えてください。
整数Ｚと有理数Ｑが加法群として同型であるかどうかを示したいのですが、 同型であることを示す証明がいまいちできません。 写像をどのように定義すればいいのですか？ 写像を定義すればあとその写像が f(ab)=f(a)f(b)であることを示して 全射であることを示せばいいと思うのですが・・ 写像がいまいちわかりません。 あと、R → R*=R-{0} の時の写像もどのように考えればいいのでしょうか？
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群論の問題なのですが… 整数全体がなす加法群Zに対して、G＝Z×Z＝{ ( a,b ) ｜a,b ∈ Z } とおき これを成分ごとの加法 ( a , b )＋( a' , b' )＝( a＋a' , b＋b' ) により群と見なす。 ２元 x = ( 2 , 4 ) , y = ( 6 , 8 )により生成される群Gの部分群Hとし、 写像 φ : G → H を φ(( a , b )) = ( 2a ＋ 6b , 4a ＋ 8b) = ax ＋ by により定義する。ことのきつぎの問いに答えよ。 (１)φは群の同型写像であることを示す。 (２)φによるHの像 K＝ φ (H) ＝ { φ ( h ) | h ∈ H } はGの部分群であることを示す。 (３)GのKによる剰余群 G / K に対して群の同型 G / K ≅ Z / mZ × Z / nZ がなりたつような自然数 m , n で m が n の約数となるものを求める。 (１)、(２)は示すことができました。 (３)の証明の方法がよくわかりません… できるだけわかりやすく教えていただけるとうれしいです。 よろしくお願いします。
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