準同型写像

質問

S_0は閉区間［０，１］で連続な関数全体の集合とし、さらにS_0は加法群とする。このとき、『f∈Sから実数Rへの写像f→∫_0~1f(x)dxは、S_0から実数Rへの準同型写像である。』
これを証明してください。できればお願いしますm(__)m
（読みにくいかもしれませんが、インテグラル０から１です。）

回答No.1

Mell-Lily · ベストアンサー

写像
　f∈S_0 → ∫<0,1>f(x)dx∈R
をαで表す。任意の関数f,g∈S_0に対して、
　α(f)+α(g)
　=∫<0,1>f(x)dx+∫<0,1>g(x)dx
　=∫<0,1>{f(x)+g(x)}dx
　=∫<0,1>(f+g)(x)dx
　=α(f+g)
ゆえに、αは、S_0からRへの準同型写像である。
q.e.d.

お礼

ありがとうございましたm(__)mまたよろしくお願いします。