同型写像の証明問題

質問

問題）ｆ：Ｒ＾ｎ→Ｒ＾ｎを同型写像とする。このとき、ｆの逆写像も同型写像となることを証明せよ。

以上の問題の方針として、Ｖを集合とした時に写像ｆ：Ｖ→Ｖ、ｇ：Ｖ→Ｖにおいてｆ◦ｇ＝idｖ、ｇ◦ｆ＝idvならば、ｆ、ｇは全単射であることを用いるのではないかと思ったのですが、これで正しいでしょうか。間違っていれば正しい方針を教えていただけないでしょうか。

回答No.2

kabaokaba

そもそも「ベクトル空間の同型写像」というのを
どのように定義していますか？

まあ，実際は
「全単射な線型写像があれば，その逆写像も線型である」
を示せば十分なのでしょう．

任意のベクトルx,y，任意のスカラーk,lに対して，
あるベクトルa,bが存在して
a=f(x), b=f(y)とおける．fは線型なので
ka+lb=f(kx+ly)，よって，
f^{-1}(ka+lb)=kx+ly=kf^{-1}(a)+lf^{-1}(b)
よって，f^{-1}も線型

補足

回答ありがとうございます、同型写像の定義は線形でありかつ全単射です。

回答No.1

koko_u_

R^n は多分実数体 R の直積空間なのでしょう。
今、写像 f : R^n -> R^n をどんな構造の上の「同型写像」だとしているのか補足して下さい。

ベクトル空間ですか？多様体ですか？それとも、もっと別の何か？

「同型」というのは「構造を含めて同じ」という意味なので、今 R^n 上で考えている構造が何かわからないと証明のしようがありません。

補足

失礼しました、ベクトル空間でおねがいします。