同型写像

質問

線形写像の基本定理
線形写像f:V→V'について、次の基本定理が成り立つ。
（1）V/Kerf～＝Imf……（*）
（V/Kerf:商空間、Imf=f(v)）
次に、（1）を次元で考えると、次のようになる。
（2）dimV-dim(Kerf)=dim(Imf)……(**)

これらの定理を用いて構わないので、「dimV=dimV'ならば、V～=V'となることを
証明しなさい。」という問題です。同型の記号が出ないので変になってますけど
気にしないでください(笑)。

VがV'と同型でないと仮定する。同型であるならば、Kerf={0}かつImf=V'が成り立
つので、そのときdim(Kerf)=0,dim(Imf)=dimV'である。よって、基本定理（**）
から、
dimV-0≠dimV'
∴dimV≠dimV'となり、これは前提条件に反する。よって、dimV=dimV'ならば、V
～=V'となる。（証明終）

たぶん私の解答は間違っていると思われるので、正しい解法を教えてください。

回答No.1

koko_u_u · ベストアンサー

>VがV'と同型でないと仮定する。同型であるならば 。。。

￢A ∧ A からはどんな結論でも導けます。しかし証明としては意味がありません。

素直に dimV=dimV' の仮定から、具体的に同型写像 f を構成して下さい。

補足

わからなかったらまた再質問するかもしれません。