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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：線形写像の問題です。）
線形写像の問題：Imfとkerの関係性、1次元写像の性質
このQ&Aのポイント
- 線形写像の問題について、Imf^(k+1) ⊂ Imf^k の証明方法を教えてください。
- 線形写像の問題について、dimImf^k=1⇒f^(k+1)=cf^k の証明方法を教えてください。
- Imfとkerの関係性を利用して、Imf^(k+1) ⊂ Imf^k の関係を証明する方法を解説します。また、1次元のImfについて、f^(k+1)=cf^k の条件を示す方法についても解説します。
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質問者が選んだベストアンサー
(1) ∀y∈Imf^(k+1) →y=f^(k+1)(x)となるx∈Vが存在する →y=f^k(f(x))となるf(x)∈Vが存在する →y∈Imf^k →Imf^(k+1)⊂Imf^k (2) dimImf^k=1 Imf^kの基底をf^k(a)とすると ∀y∈Imf^kに対して y=rf^k(a)となる実数rがあるから f^{k+1}(a)∈Imf^kだから f^{k+1}(a)=cf^k(a) となる実数cがある ∀x∈Vに対して f^k(x)∈Imf^kだから f^k(x)=rf^k(a) となる実数rがあるから f^{k+1}(x)=f(rf^k(a))=rf^{k+1}(a)=rcf^k(a)=crf^k(a)=cf^k(x) ∴f^{k+1}=cf^k
その他の回答 (4)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.4
いらんかな？ ∀S, f(S)⊂S とも限らんけど…
質問者
お礼
解決しました ありがとうございました
- koko_u_u
- ベストアンサー率18% (216/1139)
回答No.3
帰納法なんていらんて。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.2
(1)は、 A⊂B ⇒ f(A)⊂f(B) を使って 数学的帰納法でよいのでは？ (2)は、 (ax,0,0,…,0) としてしまうには 座標軸を付け替えねばならず、話が煩雑になる。 方向ベクトルを何か文字で置いて、 Im(fのk乗) =｛ xA ｜ x∈実数 ｝ のように表したほうが、簡明になる。
質問者
お礼
解決しました ありがとうございました
- koko_u_u
- ベストアンサー率18% (216/1139)
回答No.1
>(1)はImf^kの元からkerf^(k+1)の元を引いて、fで写像させるとImf^(k+1)だか らなのはわかるんですが わからないです。もっと詳しく説明してください。 >f^kは行ベクトルで(a,0,…,0) (転置ベクトルで書いている)と表せる なぜですか？ Imf^k の次元が１とは、どういう意味ですか？
お礼
理解できました。 ありがとうございました。