締切済み

準同型定理について

2011/07/24 20:16

写像ｆ：Ｚ→Ｚ；ｍ→２ｍは、準同型写像でKerf={0},Imf={2m|m∈Ｚ}であることまでは分かったのですが・・・これに準同型定理を適用すると、どのような群の同型対応が得られるのですか?? よろしくお願いします。

qq7b5ukd
お礼率4% (3/62)

数学・算数
回答数2
ありがとう数0

みんなの回答 （2）
専門家の回答

みんなの回答

eibu
ベストアンサー率56% (9/16)

2011/07/26 19:49 回答No.2

定理内容を使ってきちんと書き下してみて下さい。自ずと見えてくるはずです。

koko_u_u
ベストアンサー率18% (216/1139)

2011/07/24 20:42 回答No.1

ううむ。どのようなも何も。ねぇ。一体何を悩んでいるんですか？

関連するQ&A

群論の同型定理について

同型定理Ｂの証明について分からないので教えてください。画像内の証明は参考書の証明です。この過程が分かりません。埋め込み写像とか、写像iやρが準同型になる理由など… KerfやImfが分かったところで、なぜ正規部分群になるのでしょうか？ 1行ずつ分かりやすく説明していただけたら助かります。正規部分群、核および像、準同型定理がどういうものかはなどは理解しています。色々と分からないのですがよろしくお願いします。
同型写像

線形写像の基本定理線形写像f:V→V'について、次の基本定理が成り立つ。（1）V/Kerf～＝Imf……（*）（V/Kerf:商空間、Imf=f(v)）次に、（1）を次元で考えると、次のようになる。（2）dimV-dim(Kerf)=dim(Imf)……(**) これらの定理を用いて構わないので、「dimV=dimV'ならば、V～=V'となることを証明しなさい。」という問題です。同型の記号が出ないので変になってますけど気にしないでください(笑)。 VがV'と同型でないと仮定する。同型であるならば、Kerf={0}かつImf=V'が成り立つので、そのときdim(Kerf)=0,dim(Imf)=dimV'である。よって、基本定理（**）から、 dimV-0≠dimV' ∴dimV≠dimV'となり、これは前提条件に反する。よって、dimV=dimV'ならば、V ～=V'となる。（証明終）たぶん私の解答は間違っていると思われるので、正しい解法を教えてください。
準同型写像

m,n∈Nにおいて f:Z → Z/mZ + Z/nZ a → (a+mZ,b+nZ) とするとき、fは準同型写像であることを示せといわれましたが何を示せば良いかわかりません！あとKerfをmとnの言葉で答えよというものや、fが全射となる条件というのもさっぱりなのでヒントでもよいですから教えてもらえるとうれしいです！
代数学の、群の問題を教えて下さい。

nは正の整数とする。Gは位数nの巡回群とする。この問題では、GはZ/nZに同型であることを示す。 (1)Gの生成元xをとり(つまりG=<x>)、群の準同型定理f:Z→Gをm∈Zに対してf(m)=x^mで定める。このときfは全射であることを示しなさい。またKerf=nZであることを示しなさい。 (2)fに準同型定理を適用して、Z/nZ≃Gを示しなさい。という問題です。お願いします。
同型であることの示し方を教えてください。

整数Ｚと有理数Ｑが加法群として同型であるかどうかを示したいのですが、同型であることを示す証明がいまいちできません。写像をどのように定義すればいいのですか？写像を定義すればあとその写像が f(ab)=f(a)f(b)であることを示して全射であることを示せばいいと思うのですが・・写像がいまいちわかりません。あと、R　→　R*=R-{0} の時の写像もどのように考えればいいのでしょうか？
大学の数学（代数）の問題です。

問）群G1からG2への写像f：G1→G2は群準同型写像であるか。群準同型写像であるならばｆの像Imf及び核Kerfを求め、群準同型写像でなければその理由を述べよ。（Snをｎ次対称群、Zは整数全体のなす集合あるいは加法群） (1)G1＝S5、G2=Z；ｆ（σ）＝ｌ（σ）（σ∈S5）。ここに、ｌ（σ）はσを互いに素な巡回置換の積で表した時に現れる、長さの最も大きい巡回置換の長さ。 (2)G1=Z/９Z、G2=Z/３Z；ｆ（ｘ＋９Z）＝２ｘ＋３Z（ｘ∈Z）です。誰かわかる方解答よろしくお願いします。
代数学の問題

f：G→G'を準同型とする。（1）Imf⊆G'を示せ（2）KerfがGの正規部分群になることを示せ（3）このfに対する準同型定理を説明せよ（説明不要）という問題なのですがどうしてもわかりません。解答もなく困っています。どなたか教えていただけないでしょうか？よろしくお願いいたします。
準同型の写像

巡回群Z/nZから巡回群Z/mZへの準同型が０(ゼロ)写像ただ一つしか存在しない条件は、nとmが互いに素、即ち(n，m)=1であることを示せ。なんですが教えてください、お願いしますm(__)m
準同型写像がみたす性質

Gを０を零元とする群、F:G→Gを準同型写像とします。準同型定理、G/KerG～ImG 　　　　　　　　　　　　　＝がなりたちますが、他に満たす性質はご存知ないでしょうか。
次の同型を示せ

加群A,Bに対して Hom(A⊕B,Z)とHom(A,Z)⊕Hom(B,Z) 同型写像をどのように定め、それが同型写像である証明も詳しく教えて欲しいです。よろしくお願いします。
加群の同型を示す。

問題：次の同型を示せ。 1.Hom(Z,Z/n)とZ/n(nはZ) 2.Hom(Z/n,Z)と{0}(nは0じゃない) 3.Hom(Z/n,Z/m)とZ/d ただしm,nは0じゃない　d=(m,n)はm,nの最大公約数同型写像をf→f(1)のように定めるのはわかるのですが、これが同型写像である証明(全単射など)がうまくできません＞＜詳しく教えてくれる方、お願いします。
準同型写像

下記の問題がわかりません！教えてください。以下の群Gから群G'への写像f:G→G'は準同型写像か？理由とともに答えよ。準同型のときは核Ker(f)と像f(G)も求めよ G=G'=S5、f(σ)=σ^(-1)
準同型写像

加法群としての準同型写像はいくつありますか？ (1) Z12→Z14 (2)Z12→Z16 準同型写像はいくつありますか？ (1)Z→Z　（全射） (2)Z→Z2 (3)Z→Z2（全射） (4)Z→Z8 (5)Z→Z8（全射） (6)Z12→Z5（全射） (7)Z12→Z6 (6)Z12→Z6（全射）手順も含めて教えてください。
準同型写像について

ｆ：Ｒ→Ｃ＾{×}；ｘ→e^{2πix} 準同型性ｆ（x+y）=e^{2πi(x+y)}=e^{(2πix)+(2πiy)}=e^{2πix}・e^{2πiｙ}=f(x)+f(y) ↑であってますか?? この時、KerfとＩｍｆってどうなりますか?? 教えてください。よろしくお願いします。
同型の証明です。

群論の問題なのですが… 整数全体がなす加法群Zに対して、G＝Z×Z＝{ ( a,b ) ｜a,b ∈ Z } とおきこれを成分ごとの加法 ( a , b )＋( a' , b' )＝( a＋a' , b＋b' ) により群と見なす。２元 x = ( 2 , 4 ) , y = ( 6 , 8 )により生成される群Gの部分群Hとし、写像 φ : G → H を φ(( a , b )) = ( 2a ＋ 6b , 4a ＋ 8b) = ax ＋ by により定義する。ことのきつぎの問いに答えよ。 (１)φは群の同型写像であることを示す。 (２)φによるHの像 K＝ φ (H) ＝ { φ ( h ) | h ∈ H } はGの部分群であることを示す。 (３)GのKによる剰余群 G / K に対して群の同型 G / K ≅ Z / mZ × Z / nZ がなりたつような自然数 m , n で m が n の約数となるものを求める。 (１)、(２)は示すことができました。 (３)の証明の方法がよくわかりません… できるだけわかりやすく教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いします。
全射準同型

対称群の元にその符号を対応させる写像は、対称群S_nから位数２の巡回群｛±１｝への全射準同型であることを示せ。なんですが、わかりません。教えてください。
同型の質問です

ある命題の証明の途中で同型を示そうと思ったのですが,いまいちわからなかったので,ご助言いただければ幸いです・命題： R-加群の完全列{0}→X→Y→Z→{0](φ:X→Y,ψ:Y→Z)について、次の性質は同値: (1)R-準同型ρ:Y→Xで,ρφ=1xとなるものが存在する; (2)R-準同型μ:Z→Yで,ψμ=1zとなるものが存在する. (1x,1zはそれぞれX,Zの恒等写像) このとき,次の直和分解を得る: Y=φ(X)○+Ker(ρ) = Ker(ψ)○+μ(Z) ~=X○+Z (○+は直和, ~=は同型を表しています.) 前半の同値性は証明できたので,認めることにします. 後半の証明において,テキストでは, Y = φ(X) ○+Ker(ρ)　・・・✽ となり,φは単射,ψは全射であるから, φ(X) ~= X , ・・・(1) Ker(ρ) ~= Y/φ(X)~=Z　・・・(2) を得る. となっていました.(✽までの過程は自力でできたので割愛させていただきます.) (1)に関しては準同型定理から示せましたが, (2)がいまいちわかりませんでした. よろしければご助言お願い致します
準同型写像

S_0は閉区間［０，１］で連続な関数全体の集合とし、さらにS_0は加法群とする。このとき、『f∈Sから実数Rへの写像f→∫_0~1f(x)dxは、S_0から実数Rへの準同型写像である。』これを証明してください。できればお願いしますm(__)m （読みにくいかもしれませんが、インテグラル０から１です。）
中国の剰余定理

今、代数を勉強していますがわからないので教えて下さい。「f:Z/mnZ → Z/mZ × Z/nZ は同型写像であり、これを中国の剰余定理という。」と書いてありそのあとに、「mで割るとi余り、nで割るとj余るような整数kを求めるには、 cm+dn=1となる整数c,dを求めておいてk=cmj+dniとすればよい。」とありますが、前半と後半の繋がりがよくわかりません。
群の同型について

同型な群というのにはどのようなものがあるのでしょうか？具体的な例を教えてください。また、準同型定理や、同型定理を証明したのですが、具体的なものが考えられず、いまいちイメージがわきません。簡単な説明も兼ねて教えてくださると助かります。

準同型定理について

みんなの回答

関連するQ&A

群論の同型定理について

同型写像

準同型写像

代数学の、群の問題を教えて下さい。

同型であることの示し方を教えてください。

大学の数学（代数）の問題です。

代数学の問題

準同型の写像

準同型写像がみたす性質

次の同型を示せ

加群の同型を示す。

準同型写像

準同型写像

準同型写像について

同型の証明です。

全射準同型

同型の質問です

準同型写像

中国の剰余定理

群の同型について

注目のQ&A

カテゴリ
一覧

専門家に質問してみよう
専門家登録

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト

準同型定理について

みんなの回答

関連するQ&A

群論の同型定理について

同型写像

準同型写像

代数学の、群の問題を教えて下さい。

同型であることの示し方を教えてください。

大学の数学（代数）の問題です。

代数学の問題

準同型の写像

準同型写像がみたす性質

次の同型を示せ

加群の同型を示す。

準同型写像

準同型写像

準同型写像について

同型の証明です。

全射準同型

同型の質問です

準同型写像

中国の剰余定理

群の同型について

注目のQ&A

カテゴリ 一覧

専門家に質問してみよう 専門家登録

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト

カテゴリ
一覧

専門家に質問してみよう
専門家登録