準同型写像

質問

加法群としての準同型写像はいくつありますか？
(1) Z12→Z14
(2)Z12→Z16

準同型写像はいくつありますか？
(1)Z→Z　（全射）
(2)Z→Z2
(3)Z→Z2（全射）
(4)Z→Z8
(5)Z→Z8（全射）
(6)Z12→Z5（全射）
(7)Z12→Z6
(6)Z12→Z6（全射）

手順も含めて教えてください。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

1)
(1)
f:Z12→Z14
→12f(1)=0(mod14)→6f(1)=7n→f(1)=7k
→f(1)=0又はf(1)=7
∴2通り
(2)
f:Z12→Z16
→12f(1)=0(mod16)→3f(1)=4n→f(1)=4k
→f(1)=0,f(1)=4,f(1)=8又はf(1)=12
∴4通り
2
(1)
f:Z→Z全射
f(n)=nf(1)
nf(1)=1のとき→f(1)=±1
f(1)^2=f(1)
f(1)=1
∴環準同型1通り
(2)
f:Z→Z2
f(1)=0又はf(1)=1
∴2通り
(3)
f:Z→Z2全射
f(n)=nf(1)
nf(1)=1のとき→f(1)=1
∴1通り
(4)
f:Z→Z8
f(1)^2=f(1)(mod8)
f(1)=0,1
∴環準同型2通り
(5)
f:Z→Z8全射
f(n)=nf(1)
nf(1)=1(mod8)のとき→f(1)=1,3,5,7
f(1)^2=f(1)(mod8)
f(1)=1
∴環準同型1通り
(6)
f:Z12→Z5全射
→12f(1)=0(mod5)→12f(1)=5n→f(1)=5k
→f(1)=0
→nf(1)=1となるnは無い
∴0通り
(7)
f:Z12→Z6
f(1)^2=f(1)(mod6)
f(1)=0,1,3,4
∴環準同型4通り
(8)
f:Z12→Z6全射
nf(1)=1(mod6)のときf(1)=1,5
f(1)^2=f(1)(mod6)
f(1)=1
∴環準同型1通り

お礼

ありがとうございます。
助かります。