muturajcpのプロフィール
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- 高校数学の整数問題です。
自然数 n で約数の個数が√(3n) 以上となるものを全て求める。 3の倍数の平方根が自然数にならないといけないから、列挙していくと 3^2, 6^2, 9^2, 12^2, … 3n = 3^2, n = 3^1 = 3 の約数は 2 個 3n = 6^2 = 2^2*3^2, n = 2^2*3^1 = 12 の約数は 6 個 3n = 9^2 = 3^4, n = 3^3 = 27 の約数は 4 個 3n = 12^2 = 2^4*3^2, n = 2^4*3^1 = 48 のときの約数は 10 個 となるので、求める答は n = 12 のときに限るような気がしますが、もしそうだとしたら、これをきちんと示すにはどうしたらいいでしょうか？ 上から推定すると、pとq を負でない整数として 3n = 2^p*3^(q+1) と表してよさそうで、このとき n = 2^p*3^q の約数の個数は (p+1)(q+1) = pq + p + q + 1 なので pq + p + q + 1≧2^p*3^q を証明できればよさそうですが、手掛かりすら得られません。