準同型写像についての問題です。

質問

群準同型 φ：Ｃ＾｛×｝→Ｃ＾｛×｝　で　Ｉｍａｇｅ(φ)＝ＴかつＫｅｒ(φ)＝Ｒ＾｛×｝をみたすものを一つ与えよ。
という問題です。

ただし、Ｃ＾｛×｝は複素数体の乗法群。
Ｔは｛ｚ∈Ｃ＾｛×｝｜｜ｚ｜＝1｝。
Ｒ＾｛×｝は、実数体の乗法群です。

自明なことも含め、できるだけ詳しく教えていただけたらうれしいです。

回答No.2

noname#161582

前の質問と似た問題ですね。

単純にφ(z) = ( z/｜ｚ｜)^2 なんかどうでしょうか？

｜φ(z)｜=1 とＫｅｒ(φ)＝Ｒ＾｛×｝を満たすと思いますが。(確認はおまかせします。)

お礼

たしかに、条件をみたす写像だと思います。

ありがとうございました。

回答No.1

sugakusya

今晩は。代数学は独学中です。誰とも代数学について話し合った事がありません。従って私が間違った概念を持っている可能性がありますので、下の３つを一応確認しておきます。ここで一つでもおかしな事があればこの返答は無意味になるかもしれません。

１）写像の定義について
　群準同型 φ:C^{×}→C^{×}
と書かれていますが、Im(φ)=Tという条件より、
φ:C^{×}→T⊂C^{×}
と詳しく書き直せますよね？

２）群C^{×}について
　a,b,α,β∈Ｒ、iは虚数、eはネイピア数として
a e^{iα} , b e^{iβ}∈C^{×}

・演算方法
a e^{iα} * b e^{iβ}=ab e^{i(α+β)}
(ただし*は乗法演算子)

・単位元
e^{i0}=1

３）群Tについて
　群C^{×}のうち、aやbが1のものがTの構成要素となる。

以上が確認したい事です。こういった認識のもとφを次ぎのように定義すると、φは条件を満たした群準同型であるといえるはずです。

φの定義: φ(a e^{iα｝)=e^{iα｝∈T
( aが何であっても全て写像先はe^{iα｝)

確認していきます。

群準同型の定義を満たす。
------------------------------------
φ(a e^{iα｝* b e^{iβ｝)
=φ(ab e^{i(α+β)})
=e^{i(α+β)}

φ(a e^{iα｝)*φ( b e^{iβ｝)
= e^{iα｝* e^{iβ｝
=e^{i(α+β)}

よって
φ(a e^{iα｝* b e^{iβ｝)=φ(a e^{iα｝)*φ( b e^{iβ｝)
を満たし、φは群準同型である。

Im(φ)＝ＴかつKer(φ)=Ｒ^{×}を満たす。
------------------------------------
・Im(φ)=T
φの定義より自明

・Ker(φ)=Ｒ^{×}
φ(a e^{i0})=e^{i0}=1
より、Ker(φ)={a e^{i0}｜a∈Ｒ}である。
a e^{i0}=a なので Ker(φ)=Ｒ^{×}

お礼

とても丁寧な回答ありがとうございます。

私も今、代数学の勉強をしています。
テスト時期ということもあって、演習問題と日々挌闘しています。

回答の中で、Ker(φ)=Ｒ^{×}とあったのですが、Ker(φ)は正の実数全
体になるのではないでしょうか。

勘違いしていたら　すみません。