複素数体の乗法群についての巡回群について教えてください
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巡回群について
複素数体の乗法群について教えてください。 複素数体の乗法群 C*＝C＼{ 0 } を考える。 τ３= cos ( π / 3 ) ＋ i sin ( π / 3 ) τ５= cos ( π / 5 ) ＋ i sin ( π / 5 ) ∈C* とおく。 τ3、τ5 で生成されるC*の部分群＜複素数体の乗法群について教えてください。 複素数体の乗法群 C*＝C＼{ 0 } を考える。 τ３= cos ( π / 3 ) ＋ i sin ( π / 3 ) τ５= cos ( π / 5 ) ＋ i sin ( π / 5 ) ∈C* とおく。 τ3、τ5 で生成されるC*の部分群＜τ3 , τ5＞が巡回群であることを示したいのですが… ＜τ3 , τ5＞と＜τ15＞が同型であることは どのようにしたら証明することができますか？ よろしくお願いします。
- tyknr_kt
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同型なだけでなく、集合として一致します。 (τ15)^5 = τ3, (τ15)^3 = τ5 .....(☆) ですので、 (τ3)^2×(τ5)^2 = (τ15)^10×(τ15)^6 = (τ15)^16 = (τ15)^1 (← (τ15)^15 = 1 より) ......(★) (☆)より、 ＜τ3, τ5＞ ＝ ＜(τ15)^5, (τ15)^3＞ ⊂ ＜τ15＞ (★)より、 ＜τ15＞ ＝ ＜(τ3)^2×(τ5)^2＞ ⊂ ＜τ3, τ5＞ よって、 ＜τ3, τ5＞ ＝ ＜τ15＞
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お礼
とてもわかりやすい解説ありがとうございました!