巡回群

質問

「Gを位数がnの巡回群とする。nの任意の正の約数dに対して、Gは位数dの部分群をちょうど1つだけ持つことを示せ。」

私はこれを次のようにして示しましたが・・・。

xをGの生成元とする。するとx^n＝eである。
dはnの約数であるから、∃q∈N　s.t. n＝dq が成立。
すると、x^n＝(x^q)^d＝eである。
よって、x^q∈Gから生成される巡回部分群Hを考えると
H＝{x^q,x^(2q),・・・,x^((d-1)q),e}で、Hの位数はdである■

(1)とりあえず位数dの部分群の存在は示せたと思うのですが・・・あっているでしょうか？

(2)あと、問題文を見る限り、位数dの部分群の"一意性"も示さねばならないと思うのですが、これがよくわかりません。
位数dの部分群H'を任意に取ってきて、H＝H'であることを示せばいいのかな？と思ったのですが、できませんでした。。。

(1)(2)に関して、どなたかわかる方がいましたら、教えていただけないでしょうか？よろしくお願い致します。

回答No.5

ur2c · ベストアンサー

> 位数4の巡回群Gで、位数2の異なる部分群がH,H'の二つあったとすると、H＝H'となり矛盾・・・と言えればよい

H' を K と書きます。

H と K はそれぞれ異なる生成元 h, k を持ち、単位元　
e = h^2 = k^2
だけが共通要素。そして hk は H にも K にも属さないから、もとの位数 4 の群は
G = {e, h, k, hk}, (hk)^2 = e
に決まり。これは巡回群
G = {e, g, g^2, g^3}
じゃない。

G = {e, h, k, hk} は Klein の４元群
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%9B%9B%E5%85%83%E7%BE%A4
と呼ばれ、最小の非巡回群です。

証明が一挙にできないときは、作業を２段階に分けます。第１段階はこんな感じで、まず具体例を作って納得する。第２段階で一般化する。

> どのような矛盾を生じるのか正直よくわかりませんでした

参考 URL に Bertrand Russell について、こんなくだりがあります：
In the course of a public lecture he once claimed that if you admit one false fact you can prove anything. Someone in the audience threw him the challenge; If 4=5 then are you the Pope? Russell instantly responded,“if 4=5 then subtracting three from each side you get 1=2. Now since the Pope and I are two and 2=1, I am the Pope.”

矛盾した命題からはどんな結論でも導けるのですから、背理法の問題は「どのような矛盾を生じるのか」ではなく「どのように矛盾を見せるのか」で、小説の筋書きを考えるようなもんです。

参考URL：

http://www.openthemagazine.com/article/science/bertrand-russell-superstar

補足

回答していただきありがとうございます。

(hk)^2＝eであることは、(位数が4＝2^2より)位数4の群がAbel群だからであって、一般の場合には成り立たないですよね？(今回の問題には関係ないと思いますが・・。)

ur2cさんに教えていただいた例の証明と似せてやってみたのですが・・・うまくいきません。。。。
アドバイスいただけませんか？m(_ _)m

[証明]
位数dの、異なる部分群H_1,H_2を任意に取る。
H_1,H_2はそれぞれ異なる生成元h_1,h_2を持つ。
(なぜなら、h_1＝h_2ならH_1＝H_2となり矛盾である)

H_1＝{h_1,(h_1)^2,・・・,(h_1)^(d-1),e}
H_2＝{h_2,(h_2)^2,・・・,(h_2)^(d-1),e}
であるが、H_1∩H_2＝{e}であることが次のようにしてわかる。

x∈H_1∩H_2なるx≠eが存在すると仮定する。
x∈H_1より、x＝(h_1)^sなる自然数sが存在し、
x∈H_2より、x＝(h_2)^tなる自然数tが存在する。
今、x＝(h_2)^t≠eであるから、((h_2)^t)^k＝h_2なるk∈Nが存在する。
(例えば、k＝d+1とすればよい)
よって、((h_2)^t)^k＝(x)^k＝((h_1)^s)^k＝h_2なので、((h_1)^s)^k＝h_2である。
しかし、これはh_2＝((h_1)^s)^k∈H_1となり、h_2がH_1の元ではないことに矛盾する。
ゆえに、H_1∩H_2＝{e}である。

ところで、(h_1)(h_2)はH_1にもH_2にも属さない・・・・・・・・・・・

(今は、G＝{e,h_1,・・・,(h_1)^(d-1),h_2,・・・,(h_2)^(d-1),(h_1)(h_2)}とはならないので、Gが巡回群でないとは言えませんし;;)

回答No.4

Tacosan

(1) は, x が G の生成元であることから e, x, x^2, x^3, ..., x^(n-1) が全て異なることを使うのが簡単だと思う.
q = n/d とおくと iq, i = 0, 1, ..., d-1 は全て n より小さいですよね.
そして, これがわかれば H'' の位数が d より小さくならないことも明らかです. r < q = n/d だから rd < n.

お礼

No1では、位数dの部分群を生成するようなGの元のうち、指数が最小のものをyとし、その指数をqとしているのですよね？

それがq＝n/dと書けるということでしょうか・・・？

補足

すいません、No1で用いているqと、今回用いているq＝n/dは同じですか？

回答No.3

noname#102340

(2)について
群Gの元aの位数がnのとき、a^m(m∈Z)の位数はn/(m,n)である。((m,n)はmとnの最大公約数)
を証明する。

Gを位数がnの巡回群とする。Gの位数dの部分群をH'とする
巡回群の部分群は巡回群だから H'=<a^k> かつ k｜n (kはnの約数) とおける。
上の定理を使う。

回答No.2

ur2c

> 位数dの部分群H'を任意に取ってきて、H＝H'であることを示せばいいのかな？

方針は Tacosan が指摘するとおり、背理法が近道と思います。H と H' が異なるなら、異なる生成元がとれる。それを使って、何かへんなことを起こして見せる。

たとえば位数 4 の巡回群で、位数 2 の異なる部分群が 2 つあったら、どうなりますか？

補足

回答ありがとうございます！

Tacosanさんに対する補足にも書きましたが、どのような矛盾を生じるのか正直よくわかりませんでした・・・。

位数4の巡回群Gで、位数2の異なる部分群がH,H'の二つあったとすると、H＝H'となり矛盾・・・と言えればよいのですが・・・。

回答No.1

Tacosan

こんな感じ?
(1): 「H の全ての元が異なる」ことを言っておく方がいいかな.
(2): G の位数 d の部分群の生成元を考える. H は生成元 y の x に対する指数 q が最小であるものとする. H' は H と異なる部分群とし, その生成元 y' の x に対する指数を q' とする. q < q' で, q' は q の倍数でないと仮定してかまわない.
r = q' mod q とおいて, x^r を生成元とする部分群 H'' を考える. H'' の位数はいくつ?

お礼

仮に最小のsがdなら、 「H は生成元 y の x に対する指数 q が最小である」ことに矛盾、でしょうか？(自信ありませんが・・・)

補足

回答ありがとうございます！

＞「H の全ての元が異なる」ことを言っておく方がいいかな.
(証)
以下の事実を使います・・・。
「Gを位数nの巡回群とし、その生成元をxとする。
ZからGへの写像をf(k)＝x^kで定義すると、fは全射準同型写像。
Kerf＝AとするとA＝{0}もしくはA＝nZであるが、もしA＝{0}ならば、
fが単射となり、結局fが同型写像となるから、G～Z(～は同型の意)
しかし、これはGが位数nであることに矛盾。ゆえに、A＝nZである。
この場合、k≡k' (modn)⇔x^k＝x^k'となり、nを法とするkの剰余類にf(k)を対応させる写像がZ/nZからGへの同型写像となる。
したがってGの異なる元は、{e,x,x^2,・・・,x^(n-1)}となる。
これより特に、x^k＝e⇔kはnの倍数である。・・・★」

さて、★を使って、Hのどの2元も等しくないことを背理法で示す。
∃i,j s,t, x^(iq)＝x^(jq)を仮定する。i＜jとしてよい。
すると、x^(q(i-j))＝eが成立。
今、i-j＜dであるから、これは★に矛盾。
よってHのどの2元も等しくはない。[終]

＞x^r を生成元とする部分群 H'' を考える. H'' の位数はいくつ?

r＝q'(modq)であることから、q'＝qk+rなる自然数kが存在するので
x^r＝x^(q'-qk)ですよね・・・。

(上で書いた事実も考慮すれば)x^rが生成する巡回部分群H''の位数は(x^r)^s＝eなる自然数sのうち、最小のもの。
sの候補としては、dが挙げられるので、dがH''の位数だと最初は思ったのですが、dより小さいものがあるかも知れませんし・・・。
(仮にdだとしても、そこからどのような矛盾が出るのかが、私はわかってません、すいません＞_＜)

もう少し詳しく教えていただくことはできないでしょうか？
よろしくお願い致します。