巡回群と巡回群の直積は巡回群？

質問

Wikipediaの巡回群の項目に

p、q が互いに素ならば、位数 p の巡回群と、位数 q の巡回群の直積は巡回群である。

ということが書いてあったのですが、これって簡単に証明できるのですか？
証明の概略と、これが十分条件も満たしてるならそちらの方の証明の概略も教えていただけないでしょうか。

そもそも巡回群の直積が巡回群になるとは、たとえば{e,a,a^2}と{e,b,b^2,b^3}の直積を考えたときに、<a,b>^nは単純に<a^n,b^n>というように考えて、

<a,b>^0=<e,e>
<a,b>^1=<a,b>
<a,b>^2=<a^2,b^2>
<a,b>^3=<e,b^3>
<a,b>^4=<a,e>
<a,b>^5=<a^2,b>
<a,b>^6=<e,b^2>
<a,b>^7=<a,b^3>
<a,b>^8=<a^2,e>
<a,b>^9=<e,b>
<a,b>^10=<a,b^2>
<a,b>^11=<a^2,b^3>

はい、巡回群。という感じになるのでしょうか？

回答No.3

ojisan7 · ベストアンサー

p、q が互いに素ならば、確かに直積は巡回群になります。これは十分条件です。この証明は基本的には連立合同式の解の存在証明と同じです。
x≡s(mod p)
x≡t(mod q)
この連立合同式の解の存在はどのように示せますか？

補足

一個見つかりさえすれば、pqだけ足したり引いたりすればいいのだから、とりあえず
∃(m,n) pn+s=qm+t
という感じでしょうか？的外れですか？

回答No.2

koko_u_u

>つまりpとq適当に選んできて並べてって感じでいいわけですね。

違います。

補足

0,1,2,3,4,・・・,p,0　,・・・
0,1,2,3,4,・・・,p,p+1,・・・,q

↑
こんな感じで並べたときに、最小公倍数pqまで同じ組み合わせがないってことを言えば良いんじゃないんですか？？
そういうことだと思いますし、違うとはおもわないですが。

回答No.1

koko_u_u

>これって簡単に証明できるのですか？
簡単です。

>証明の概略と、
あなたか書いたそのままです。

>これが十分条件も満たしてるなら
この命題がまさに「p,q が互いに素」であることが巡回群であるための
十分条件であることを言っています。

補足

なるほどわかりました。つまりpとq適当に選んできて並べてって感じでいいわけですね。
逆はこの説明ではダメですよね？巡回群ならばp,qは互いに素というのは言えないということでしょうか？