巡回群について

質問

「Gを位数nの巡回群とする．このとき，Gの部分群の位数はnの約数で，各約数に対してただ一つ存在する．」

この証明でいくつか分からなかったので教えてください．

（以下証明）
G=<g>とし，m|nであるとする．

ここでn/m=cとおくと，<g^c>は位数mの巡回部分群になる．
また，これと異なる位数mの巡回部分群Sが存在すると仮定する．

g^k∈S （kはこれを満たす最小の正整数）とすると，剰余の定理から

n=qk+r （0<q∈Z，0≦r<k）

となるq,rが存在する．このとき，

g^r=g^(n-qk)=g^n(g^(-k))^q∈S

で，kの最小性よりr=0を得る．
よってn=qkとなり，Sの位数はqとなる．－(1)
したがってm=qとなり，S=<g^c>．－(2)

以上より，nの約数に対して，ただひとつの巡回部分群が存在する．

（証明終）

この証明の最後の，
(1)：Sの位数はqとなる
(2)：S=<g^c>
の部分がわかりませんでした．

(1)について
(g^k)^q=g^qk=g^n=e
となりますが，これより「Sの位数はq」ということですか？

(2)については包含関係を示しているのでしょうか？
その辺がよくわかりませんでした．

長文申し訳ありませんがよろしくお願いいたします．

回答No.1

yoikagari

証明を再掲載するよ
「G=<g>とし，m|nであるとする．

ここでn/m=cとおくと，<g^c>は位数mの巡回部分群になる．
また，これと異なる位数mの巡回部分群Sが存在すると仮定する．

g^k∈S （kはこれを満たす最小の正整数）とすると，剰余の定理から

n=qk+r （0<q∈Z，0≦r<k）

となるq,rが存在する．このとき，

g^r=g^(n-qk)=g^n(g^(-k))^q∈S

で，kの最小性よりr=0を得る．
よってn=qkとなり，Sの位数はqとなる．－(1)
したがってm=qとなり，S=<g^c>．－(2)

以上より，nの約数に対して，ただひとつの巡回部分群が存在する．

（証明終）」

以下回答

「(1)：Sの位数はqとなる」について
Sの任意の元が、整数hを用いてｇ^(kh)と書けること…※
がポイント

以下で※を証明する。

※の証明

Sの元xを任意に取る
xはGの元だから整数tを用いてx=g^tと書ける
剰余の定理から、t=kq'+r'、0≦r'＜k
をみたす整数q'、r'が存在する。

g^r'=g^(t-kq')=g^t・{g^(-k)}^q'
kの最小性よりr'=0がいえる。

したがってt=kq'がいえる。
ここでq'=hとおけばt=khとかけるから、x=g^(kh)
となることがわかる。

※の証明終わり

※とg^(nq)=g^n=eを使うと群Sは、S={e，g^k，g^(2k)，…，g^{(q-1)k} }とかけるから
Sの位数はqであることがいえる。

「(2)：S=<g^c>について」
(1)よりSの位数はqであることがいえたから、m=qがいえた

g^c=g^(n/m)∈Sだから任意の整数wに対して、g^(cw)=(g^c)^w∈Sがいえるから
<g^c>⊆Sがいえる。
ここで<g^c>の位数とSの位数が共にmであることに注目すると
<g^c>=Sであることがわかる。

補足

丁寧な回答誠にありがとうございます．
最後にひとつだけ補足で教えてください．

(2)について
「g^c=g^(n/m)∈S」
とありますが，これは
「g^(n/m)=g^(kq/q)=g^k∈S」
という解釈で大丈夫ですか？