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Sylowの定理と位数14の群

G:位数14の群 N:Gの7-Sylow部分群 H:Gの2-Sylow部分群 とし,写像f:H→Aut(N)を f(h)=(n↦hnh^-1) で定める. このとき, (1)Imf={e}⇒Gは巡回群 (2)fが単射⇒Gは二面体群と同型 であることを示せという問題なのですが,以下のように示しました. (∵) Sylowの定理より,Gの7-Sylow部分群の個数は1なので,NはGの正規部分群である.またN,Hの位数はそれぞれ7,2なのでともに巡回群となる.よってN,Hの生成元をそれぞれa,bとすると,a^7=e,b^2=e.一方,N∩Hの位数は2と7の公約数であることから1.ゆえにN∩H={e}.したがって G=NH={a^i b^j | a^7=e,b^2=e} (Gの任意の元はN,Hの元で一意に表せる) また,NはGの正規部分群であることから,ある整数mが存在して,bab^(-1)=a^mとなる.ここで, (a^m)^m=(bab^(-1))^m=b(a^m)b^(-1)=(b^2)a(b^(-2))=a すなわち,a^(m^2-1)=eとなるので,m^2-1は7で割り切れる.ゆえにある整数lが存在して, m^2-1=(m+1)(m-1)=7l と書けるので,m=7l±1. (1) m=7l+1のとき bab^(-1)=a^m=a^(7l+1)=a ∴ab=ba よってGはN,Hで直積分解でき, G≒N×H≒Z/14Z (≒は同型の意) ゆえにGは巡回群. (2) m=7l-1のとき bab^(-1)=a^m=a^(7l-1)=a^(-1) よってGは二面体群と同型. (証明終) こんな感じで(1),(2)を一気に示したのですが,(1),(2)の仮定を一切使っておりません.(1)については別個に仮定を使って示せましたが,(2)はどこで仮定を使ってよいかわかりませんでした. ご教示願います.

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f:H→Aut(N) f(h)=(n→hnh^{-1}) N={e,a,a^2,a^3,a^4,a^5,a^6} H={e,b} (1) f(H)={e}のとき f(b)=(a→bab^{-1})=e=(a→a) だから bab^{-1}=a ∴ab=ba (2) fが単射 b≠e f(b)(a)=a^m f(b)(a^m)=a f(b)(a^{m+1})=a^{m+1} a^{m+1}から生成される巡回群(a^{m+1})は 素数位数の巡回群N=(a)の部分群だから (a^{m+1})=N=(a)または(a^{m+1})=(e)となる (a^{m+1})=N=(a)とすると 任意のa^n∈Nに対して,a^n=(a^{m+1})^k となるkがあるから f(b)(a^n)=f(b)((a^{m+1})^k)={f(b)(a^{m+1})}^k=(a^{m+1})^k=a^n となってf(b)は恒等写像になり f(b)=e=(a→a) fは単射だからb=eとなってb≠eに矛盾するから (a^{m+1})=(e)となる →a^{m+1}=e →a^m=a^{-1} →f(b)(a)=bab^{-1}=a^m=a^{-1}

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