対称群の交換子群

質問

教えていただけると嬉しいです。

ｎ次対称群Snの交換子群D(Sn)はｎ次交代群Anである、ということの証明を読んでいて、D(Sn)⊂Anは理解しました。が、An⊂D(Sn)の証明のところがわかりません。
「1≦i＜j＜k≦nとすると、[(i,j),(i,k)]＝(i,j,k)であり、Anは３文字の巡回置換によって生成されるからAn⊂D(Sn)である。」
とあるのですが、「生成されるから」のところまではすべてわかります。ですが、なぜここから結論が出てくるのかがわかりません。

回答No.3

graphaffine · ベストアンサー

>σは交代群の元だから３文字の巡回置換の積の形で表
>せる→３文字の巡回置換は交換子の形にかけるからσ
>は交換子の積の形に書ける→σは交換子群に属する

そのとおりです。後は言い方の問題ですかね。
引用部（それから、私の前の回答）と同じことを、別の言い方で書いてみます。

Snの部分集合Aに対しAで生成される部分群をG(A)と書くことにする。また、CnをSnの交換子の全体、L3をSnに含まれる３文字の巡回置換の全体とする。

１　定義よりD(Sn)=G(Cn)
２　L3⊂CnよりAn=G(L3)⊂G(Cn)=D(Sn)

これでどうですか。

＞交換子全体つまり交換子群
間違い。交換子群は交換子全体で生成される部分群です。

お礼

２回も丁寧に説明していただいて嬉しいです、ありがとうございます。

さっきようやく理解できました。
理解してみるとずいぶんと当たり前に思えてきますね笑。でも何か自分の中でひっかかるポイントの典型だったのだと思います。

本当にどうもありがとうございますm(_ _)m

回答No.2

graphaffine

[(i,j),(i,k)]＝(i,j,k)だから、３文字の巡回置換は交換子の形に書ける。
ところが、３文字の巡回置換は交代群を生成する。
従って、交代群は交換子群の部分群である。

ご質問に書かれていることを、単に言い方を変えただけですね。

お礼

ありがとうございます。
何度も整理して考えてみたんですが腑に落ちません…。もしかしてとても簡単なことを「わからん！」と言っているのでしょうか…教えていただいたのにすみません。

「３文字の巡回置換は交換子の形にかける」そして「３文字の巡回置換は交代群を生成する」のだから、「交換子全体つまり交換子群は交代群の部分群」というのなら腑におちるのですが…涙

「交代群が交換子群の部分群」ということは交代群の任意の元σが、交換子群にも属している、ということを言えばいいのですよね…
σは交代群の元だから３文字の巡回置換の積の形で表せる→３文字の巡回置換は交換子の形にかけるからσは交換子の積の形に書ける→σは交換子群に属する、という流れなら理解できるんだけどなぁ…と思ったのですが…何か根本的に考え落としているのでしょうか…。

回答No.1

cache-cache

何を示せばいいのかというと、
Anに含まれる任意の元が、D(Sn)に含まれていることを言えばいいわけです。つまり、Anの元が、Snの２つの元の交換子の形にあらわせることを言えばいいわけです。

今、Anに含まれる元が、３文字の巡回置換の積に表せることがわかり、そして、その３文字の巡回置換は交換子の形であらわせますので、Anに含まれる元は交換子の積の形であらわせる、と。交換子は群をなすので、積について閉じています。つまり、交換子の積は交換子の形であらわせます。よって、Anに含まれる元は交換子の形で表せます。

どうでしょうか？

お礼

ありがとうございます。

確かにそうですね、なるほど。
しかし、交換子群のところを色々読んでいて、実際に交換子の積を交換子の形で表している実例が載っているものがないのです。
自分でも色々パズルのようにやってみましたが、交換子の積を交換子の形に表せません。
具体的に[a,b][c,d]＝aba'b'cdc'd'（インバースは書きづらいのでダッシュにさせてもらいました。）から[x,y]の形を導くにはどうしたらいいのでしょうか？