対称群

質問

n次の対称群Snについて、次の問に答えよ。

1.σ=(2,3,…,n-1,n)(巡回置換)とするとき、σ^i・(1,2)・σ^(-i)を求めよ。

2.Sn=<(1,2), σ>を示せ。なお、<S>はSが生成する部分群である。

3.f,g,h∈Snをそれぞれ、長さn,n-1,2の巡回置換とする。Sn=<f,g,h>を示せ。

という問題です。1.は解けました。（たぶん(1,2+i)になると思います。違ったら教えてください。）2.もn=3のときなど具体的に考えればなんとなくわかるのですが、示し方が分からなくて困っています。また3.もf^i・g・f^(-i)を考えて(2)を用いるとは思うのですが、示し方が分かりません。

どなたか力を貸して下さい。お願いします。

回答No.1

arrysthmia

1. それでよいと思います。

2. 実際に、Sn を (1,2), σ で生成して見せれば十分でしょう。
　Sn の元 f は、(1,f(k))・(1,k) を k = 2,3,…,n について掛け合わせる
　ことで生成できます。
　(1,k) や (1,f(k)) は、1. の方法で (1,2) と σ から生成できますから、
　結局、任意の元 f が (1,2), σ で生成できたことになります。

3. f^i・g・f^(-i) を考えるのと全く同じことですが、f^(-i)・h・f^i を
　考えたほうが、感覚的には把握し易いかもしれません。
　g の固定元を a と置くと、f の長さが n なので、
　{ f(a), f^2(a), f^3(a), …, f^n(a) } = { 1, 2, 3, …, n } であり、
　互換 f^(-i)・h・f^i の一方の元が a と一致するような i が存在します。
　そのときの f^(-i)・h・f^i を (a,b) と置きます。
　2. と同様にして、Sn = < (a,b), g > であることが示せますから、
　(a,b) ∈ < f, h > より、Sn = < f, g, h > です。

お礼

なるほど！とても分かりやすい説明ありがとうございます。自分なりに理解できたつもりです。
本当にありがとうございました。。