代数学の回答についての質問です

質問

n≧3のとき {g∈Sn|g(123)g^(-1)=(123)} をすべて求めよ。

回答

g[i]=jをgによって、iがjに移ることをあらわすものとします

g(1,2,3)g^(-1)=(g[1],g[2],g[3])となる

置換として(1,2,3)=(2,3,1)=(3,1,2) なので、gが３次の置換なら、
gは、恒等置換または、(1,2,3)または、(1,3,2)となります。
n≧3となっているため、gは、３次の置換とは限定されず、５次の置換
g=(1,2,3)(4,5)でも、g^(-1)(1,2,3)g=(1,2,3)になる。
そのため、(g[1],g[2],g[3])=(1,2,3)となっていれば、4以上の部分の置換は任意である

よって、g(123)g^(-1)=(123)となるgは

g=fhである

(ただしfは{1,2,3}の恒等置換または長さ3の巡回置換、hは{4,5,・・・,n}の任意の置換)

最初あたりをどう説明したらよいかわからないため、分かりにくくなってます
どのようにしたら、良いでしょうか

あと、答えの記述の仕方はこのようで良いですか？

回答No.1

koko_u_u · ベストアンサー

これが証明の全文とすると、いろいろ説明が足りないと思います。

> g(1,2,3)g^(-1)=(g[1],g[2],g[3])となる

なぜですか？

> gが３次の置換なら、gは、恒等置換または、(1,2,3)または、(1,3,2)となります。

なぜですか？

> (g[1],g[2],g[3])=(1,2,3)となっていれば、4以上の部分の置換は任意である

主張したい内容がわかり難いです。

> よって、g(123)g^(-1)=(123)となるgは g=fhである

なぜですか？

置換群の元は単なる写像であることにもっと注意を払うべきです。
(1 2 3) のような「記法」が初学者には混乱のもとだと私は思いますよ。