数学の代数幾何の問題が難しくて分かりません。

質問

数学の代数幾何の問題が難しくて分かりません。　
長いですが、１問でもいいのでどなたか分かる方教えてください。　

SL(n,R)={g｜gはn×n実正方行列でdetg=1}とする。
A_ij(g)で行列gの(i,j)-余因子行列を表す。
U_ij={g∈SL(n,R)｜detA_ij(g)≠0}としたとき、

(1)先ずSL(n,R)が群になることを確認し（群になることは自分で確認できました）、行列式の余因子展開を調べよう。
(2)各iごとにSL(n,R)=∪(1≦j≦n)U_ijとなることを示せ。
(3)φ_ij:U_ij∋g=(g_ij)→h=(u,v,m)
u=
(g_11 ・・・ g_1n)
(g_21 ・・・ g_2n)
( ・・・ )
(g_i-11・・・ g_i-1n) ←(i-1)×n行列です

v=(g_i1,・・・,g_ij-1,g_ij+1,・・・,g_in)

w=
(g_i+11 ・・・ g_i+1n)
(g_i+21 ・・・ g_i+2n)
( ・・・ )
(g_n1 ・・・ g_nn )

とすれば(U_ij,φ_ij)は局所座標になることを示せ。
(4)特にn=2,n=3のときの座標変換を書き下せ。
(5)SL(n,R)は連結であることを示せ。またSL(n,R)はコンパクトではないことを示せ。

回答No.3

grothendieck

他の方の回答があまりにもsophisticatedなため誤まった解釈をしてしまい、すみませんねえ。
(2)について
g∈SL(n,R) についてdet(g)の第i行に関する余因子展開をすると
　det(g) = g_i1 detAi1 +・・・+ g_ij detAij +・・・+g_in detAin = 1
だから detAi1, detAi2, ・・・, detAin のうち少なくとも一つは0でないものがある。よって

g∈∪(1≦j≦n)U_ij　SL(n,R)⊂∪(1≦j≦n)U_ij　

に修正してください。回答された方は"玲瓏なる境地"にいらっしゃるのでしょうが、なにしろご回答が『無』なため素人にはどうとでも解釈できてしまいます。

回答No.2

grothendieck

前回の回答で体積は符号つきの体積として下さい。また「また体積=1の二つの平行四辺形は連続な変形で移りあうことができる」は「体積を保ったまま連続な変形で移りあうことができる」と変更して下さい。
(3)について
g∈U_ij についてdet(g)の第i行に関する余因子展開をすると
　det(g) = g_i1 detAi1 +・・・+ g_ij detAij +・・・+g_in detAin = 1

detAij≠0 だからg_ij について解くことができて
　g_ij = (1- g_i1 detAi1 -・・・- g_in detAin )/detAij
したがってg∈U_ij とh=(u,v,w)は１対１に対応するから(U_ij,φ_ij)は局所座標である。

もちろんこんな基本的なことは専門家の権威ある解答に完全に書かれていますので、私の書いたことは蛇足でしょう。しかし専門家の文章はあまりにもレベルが高く難解で理解不能です。いったいどこに私の回答の高い立場から見たことが書かれているのでしょう。

回答No.1

grothendieck

世界最高レベルの権威から精緻で格調高く、レベルの高い回答が多数寄せられて心強い限りですね。「回答が来ない」などど思ってはいけません。『無』という大変深遠な回答が寄せられているのです。
http://okwave.jp/qa/q6158340.html
もっとも『無』ではあまりにも深遠で理解困難と思われますので、回答者の末席を汚す私が深遠でない回答をいたしましょう。
(2)について
SL(n,R)⊃∪(1≦j≦n)U_ij　は明らか。
g∈SL(n,R) とすると、各iごとにdetA_ij(g)(1≦j≦n)のすべてが0になることはない。なぜならすべて0とすると、det(g)の第i行に関する余因子展開よりdet(g)=0 となってg∈SL(n,R) と矛盾するからである。よって
　SL(n,R)⊂∪(1≦j≦n)U_ij　
以上より
　SL(n,R)=∪(1≦j≦n)U_ij　
(5)はリー群の本にあると思います。det(g)はn次元平行四辺形の体積です。直感的に言えば、体積=1 の制約の下である次元の方向の大きさを小さくすれば他の次元の方向の大きさはいくらでも大きくできるのでSL(n,R)はコンパクトではない。また体積=1の二つの平行四辺形は連続な変形で移りあうことができるので、SL(n,R)は連結。
他の問題はすでに『無』という深遠な回答が多数寄せられているのですからもう十分でしょう。