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任意の置換は互換の積で表されることの証明
『n次対称群（置換群）Snの各元はいくつかの置換の積として表されることを示せ。』 という問題。 実際にいくつかの置換に対して調べてみると、確かに成り立っていそうなことがわかるのですが、それをどうやって証明したらいいのかわかりません。 実際にこの作業をするとき (1)置換をいくつかの巡回置換の積で表す (2)巡回置換を互換の積で表す という手順で行なっているので、証明もこの二つのステップに分けて考えればいいのだとは思いますが、例えばn=3の時ですらどうやって証明したらいいのかが全くわかりません。実際にn=3なら全てを書き出せば示せるのですが… また出題されている証明はnに関するものでnは自然数であるから数学的帰納法を使うのかな？と漠然な考えしか浮かばず困ってます。 どうやって証明していけばいいのか教えてください。
- chiropy
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- arrysthmia
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実際に互換の積を示す。 置換 σ が、k を σ(k) に遷すとき、 k < σ(k) であるような全ての k について、 k と σ(k) の互換を、k が小さい順にかけた積は、 σになる。
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- arrysthmia
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σ(k) という記法は、 σ = (1,2,3,4,5,6 / 3,5,6,4,1,2) のことを σ(1) = 3, σ(2) = 5, σ(3) = 6, σ(4) = 4, σ(5) = 1, σ(6) = 2. と表します。 この σ において、k < σ(k) となるような k の範囲は、 k ∈ { 1, 2, 3 } です。
質問者からのお礼
なるほどσとσ(k)がどういったものかはわかりました。 これを基にまた考えてみます 回答ありがとうございます。
- 回答No.1
- Tacosan
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いろいろ考え方はあると思うけど, n に関する帰納法で証明することはできますね. この線だと最終的に「Sn-1 の任意の元が互換の積で表される」に持ち込むわけだから, 与えられた置換に対し「最後の要素がそれ自身に移る」ように互換をかけてやればいい. 巡回置換を使うなら, その (1) と (2) をやればいい. (1) の方は適当な元からはじめて置換で移し続けると (有限個しかないから) いつか最初の元に戻ってくるので, これで巡回置換が 1個見付かる. これで全ての元がリストアップされなければ, 出てこなかった元から同じ手順を繰り返す. (2) は難しくないと思うけどどうだろう.
質問者からのお礼
回答ありがとうございます。 （2）については (1,2,3,4) → (2,3,4,1) のような置換を (1,2,3,4/2,3,4,1) と表すことにする。 ある循環置換φ=(1,2,3,…,n/2,3,4,…,n,1)を互換の積で表すことを考える。 (1,2,3,…,n/1,2,3,…n) から一列ずつ互換を施してやると φ=(1,n)(1,n-1)(1,n-2)…(1,2) となって循環置換φは互換の積で表されるとは思うのですが（帰納法使ってませんが）、これで証明になっているのでしょうか？ また（1）も置換が循環置換の積で表されるのも自明な気がして… 証明として数学的な表現をどうすればいいのかわからないんです。
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回答ありがとうございます ≫k < σ(k) であるような全ての k について がよくわかりません。 σ(1,2,3,4,5,6/3,5,6,4,1,2)とし k=(4,3,5,6,2,1)とすると σ(k)=(4,6,1,2,5,3)となりますよね？ k < σ(k)とはどういう状態のことを言うのでしょうか？ この例の場合だとこの不等式を満たしているのでしょうか？