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任意の置換は互換の積で表されることの証明
『n次対称群(置換群)Snの各元はいくつかの置換の積として表されることを示せ。』 という問題。 実際にいくつかの置換に対して調べてみると、確かに成り立っていそうなことがわかるのですが、それをどうやって証明したらいいのかわかりません。 実際にこの作業をするとき (1)置換をいくつかの巡回置換の積で表す (2)巡回置換を互換の積で表す という手順で行なっているので、証明もこの二つのステップに分けて考えればいいのだとは思いますが、例えばn=3の時ですらどうやって証明したらいいのかが全くわかりません。実際にn=3なら全てを書き出せば示せるのですが… また出題されている証明はnに関するものでnは自然数であるから数学的帰納法を使うのかな?と漠然な考えしか浮かばず困ってます。 どうやって証明していけばいいのか教えてください。
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回答ありがとうございます ≫k < σ(k) であるような全ての k について がよくわかりません。 σ(1,2,3,4,5,6/3,5,6,4,1,2)とし k=(4,3,5,6,2,1)とすると σ(k)=(4,6,1,2,5,3)となりますよね? k < σ(k)とはどういう状態のことを言うのでしょうか? この例の場合だとこの不等式を満たしているのでしょうか?