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対称群

nを2以上の自然数とする。 X:={0,1,2、・・・n-1}= Z/nとおく 0:X→Xを、a →3a mod n とする。 (1)0が単射となる必要十分条件をnについての言葉で表せ (2)0が全単射となる時、0とn元の置換とみて、0をSnの部分集合とみなす。 n=8のとき、0の位数を求めよ (2) 再びnを一般の自然数とし、(1)の条件が満たされているとする。(2)で定義されたSnにおける位数が、(Z/n)* における3の位数と等しいことを示せ (3)はまったく手がかりすらつかめませんでした・・・ めんどくさい場合は、(3)だけ回答お願いします。 わからないので教えてください、よろしくお願いします

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質問者が選んだベストアンサー

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返信が途絶えたようなので、本題に返って: (3)の題意が解ったところで、これを示すためには、 O が生成する Sn の部分群と 3 が生成する Z/n の部分群が、 同型であることを示せば十分です。 それには、同型写像を具体的に一つ挙げればよい。 Z/n から Sn への写像 k → O^k が、その実例です。 これが同型写像であることを、同型の定義に沿って 検証しておいて下さい。

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質問者からのお礼

返信遅くなってごめんなさい。 0^k=3^k 0^k=1は3^k・x=xと同値 とテストの回答を頂きました!! 今回は本当にお世話になりました!! また期末になりましたら、助けてください!!

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その他の回答 (7)

  • 回答No.8
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

同じことですけど ・3^k ≡ 1 (mod n) なる最小の正の k に対して 0^k が恒等写像 ・それより小さい k に対して 0^k は恒等写像でない でも OK でしょうか>#7. 「位数」の定義からはこれの方がストレートな気もします.

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質問者からのお礼

いろいろ助けていただいて、 ありがとうございました。 わからないことばかりなので、これからもいろいろ教えてください!!

  • 回答No.6
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

今まで書かなかったけど 「0:X→Xを、a →3a mod n とする。」 ってすごく違和感あるなぁ. 0 と (X の元である) 0 の区別がつかない.... さておき, #2 の「お礼」にある 「|X| ≦ n」 は何を意味するのでしょうか? これが (1) の「単射となる必要十分条件である」という主張でしょうか? もしそうなら, 残念ながら勘違いであるといわざるを得ません. というか, X = Z/n なんだから常に |X| = n だよね. つまり 0 は任意の n に対して単射であるといいたい?

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質問者からのお礼

|X|ではなく|0|と言い間違えました。 でもそれも答えが違っていました・・・笑

  • 回答No.5

おや、ミスプリ。 申し訳ない。 n がカブってました。 3~k≡1 (mod n) となる最小の自然数 k ですね。 これが n ごとに決まるから、 「Z/n における」と頭に付く訳です。 (前半の説明は、読まなかったのかな)

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  • 回答No.4

ほら、わかってない。 No.2 さんの言う通りだったでしょ。 群 G において、 G の部分群 H の位数とは、単に集合 H の要素数のこと。 G の元 a の位数とは、a^n=(単位元) となる最小の自然数 n のこと。 元の位数は、その元が生成する部分群の位数 とも言えるけど。 これがわかっていれば、 Z/n における 3 の位数 とは、3^n≡1 (mod n) となる最小の自然数 n。

参考URL:
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E8%AB%96#.E4.BD.8D.E6.95.B0

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質問者からのお礼

ありがとうございます!! ということは 3^8≡9^4≡1 (mod8) でよろしいでしょうか? ありがとうございます。。。みなさんほんとに頭がいいですね。 どうしたらそんなに頭よくなれますか? またいろいろと教えてください!

  • 回答No.3

> 位数の意味はわかりますが 本当ですかね。 No.1 でツッコんだのは、0⊂Sn と 0∈Sn とでは 「0の位数」という際の「位数」の意味が違うからです。 > 質問の意味がつかめませんでした。  そうでしょうね。文章が悪過ぎます。 「0 が単射であるとき、Sn における 0 の位数は、 剰余環 Z/n における 3 の位数と等しいことを示せ。 」 なら、解りますか?

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質問者からのお礼

位数の意味はわかっているつもりですが・・・ 0⊂Sn と 0∈Sn とでは 「0の位数」という際の「位数」の意味が違うのですか?? 剰余環 Z/n における 3 の位数というのがよくわからないですが・・・ 何度も申し訳ないのですが、説明していただけませんか?

  • 回答No.2
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

(3) で「手がかりすらつかめませんでした」ってことは, 「位数」の意味が全く分からないってこと? (1) は「単射」でも「全射」でも「全単射」でも同じことだから, どれか 1つで条件を与えればよし. (2) 計算しろ. (3) 「位数」の定義を考える.

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質問者からのお礼

(1) |X| ≦ n  (2)は(3)を説明するためにのせたのですが、0の位数は 8 で間違いないでしょうか? (3) は位数の意味はわかりますが、質問の意味がつかめませんでした。  教えてください

  • 回答No.1

(2) 「0をn元の置換とみて、0をSnの元とみなす。」の間違いでしょう。 0をSnの部分集合とみなすことは、できません。

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質問者からのお礼

0∈Sn なのですが、説明間違えました ごめんなさい

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