群に関して

質問

群の問題についていくつか質問があります。
分かる方お願いします。

１、GL(n,R)={A:実n×n行列| |A|≠0}としたとき
　 SL(n,R)={AはGL(n,R)に属する| |A|=1}　が部分群であることを示す。

２、GL(n,R)⊃Ｔ=
( a1・・・ )|
( 　 a2　・・・)|
( 　　 a3・・・ )|　　
(　 ・・・・an )| （n×nの行列です）
　a1・a2・a3・・・・・an≠0
　ならばＴはGLの部分群であること。

３、n次の対称群Snに属する(1 2 ・・・ n)：巡回置換
　　ならば＜(1 2 ・・・ n)＞の位数を求めよ。

以上の３題なのですが、教科書を見てもどうすればいいのかよくわかりません。
どなかたご助力お願いいたします。

回答No.3

koko_u_u

>１，２、が満たされたのでＳＬは部分群であるという考え方でいいのでしょうか？

依然として、あなたが不安に思っているポイントがわかりません。

回答No.2

koko_u_u

>どのようにして確認すればいいのか分からないということです。

私には、確認する上で何が障害となっているかが分かりません。
例えば、問題１で

1,a,bがＨに属しているならばabはＨに属する
2,aがＨに属するならばa^(-1)はＨに属する

を確認するとして、何が困難なのかを教えて下さい。

補足

遅くなってしまって申し訳ないです。

問題１で確認事項１の確認をする時、SLに属するa,bを考えた時に、abがSLに属するということは|a||b|=1であるのでabはSLに属する、そして確認事項２は|a^(-1)|=1/|a|=1であるのでa^(-1)はＳＬに属する。１，２、が満たされたのでＳＬは部分群であるという考え方でいいのでしょうか？

回答No.1

koko_u_u

>教科書を見てもどうすればいいのかよくわかりません。
教科書に部分群の定義は書いてないのですか？群の位数の定義は？

補足

すみませんもう少し書くべきでした。
部分群に関しては、
Ｇ⊃Ｈ≠φで
ＨがＧの部分集合であるためには
1,a,bがＨに属しているならばabはＨに属する
2,aがＨに属するならばa^(-1)はＨに属する
この２条件を確認すればいいと思うのですが、どのようにして確認すればいいのか分からないということです。

位数いついても同様で定義はのっているのですが、どのように定義にあてはめて求めていくかが良く分かりません。

どのように確認すれば分かるのでしょうか？