- 締切済み
代数系の勉強をしています。
代数系の勉強をしています。 しかし、まったくわかりません。 3次対称群の位数3の部分群の求め方や、各元で生成される巡回部分群の求め方、(R*,X),(z,+)とは何ですか? 丁寧に教えてください。よろしくお願いします。
- n_junko_hp
- お礼率0% (0/5)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数1
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
みんなの回答
- muturajcp
- ベストアンサー率78% (505/644)
X_3={1,2,3} S_3={σ:X_3→X_3|σは全単射(1対1上への)写像} としたとき S_3を3次対称群という。 S_3の位数3の部分群をHとする。 Hの位数|H|=3だから1≠σ∈H-{1}となるσがある σから生成される巡回群(σ)=(σ^i)_{iは自然数}⊂H Hの部分群の位数はHの位数|H|=3の約数となるから|(σ)|=1=|{1}|または|(σ)|=3=|H| (σ)={1}または(σ)=Hとなり,σ≠1だから(σ)=H H={1,σ,σ^2},σ^3=1となり σの位数|σ|=min{i|σ^i=1}=3となる, σ≠1だからσ(1)≠1だからσ(1)=2またはσ(1)=3となる σ(1)=2のときσ(2)≠σ(1)=2,σ^2≠1だからσ(2)=σ(σ(1))≠1だからσ(2)=3 σ(3)≠σ(1)=2,σ(3)≠σ(2)=3だからσ(3)=1となるからσ=(1,2,3)(巡回置換1→2→3→1)となる σ(1)=3のときσ(3)≠σ(1)=3,σ^2≠1だからσ(3)=σ(σ(1))≠1だからσ(3)=2 σ(2)≠σ(1)=3,σ(2)≠σ(3)=2だからσ(2)=1となるからσ=(1,3,2)(巡回置換1→3→2→1)となる σ_1=(1,2,3),σ_2=(1,3,2)とすると σ_1^2=(1,2,3)^2=(1,2,3)(1,2,3)=(1,3,2)=σ_2 H={1,(1,2,3),(1,3,2)}が位数3の部分群となる (R*,X),(Z,+)の定義はそれが書かかれている本によって異なりますので本をご覧下さい。 一般的にRは実数の集合,Zは整数の集合とする場合が多いですがそうでない場合もあります。 例えばZを整数の集合とするZは加法+乗法*について環となるが 整数環Zは加法+について群となるが乗法*について群にならないという事を言う場合 (Z,+)は群となるが、(Z,*)は群でないと言う事もあります。 Rを実数の集合としてR*=R-{0}とし乗法Xとすると (R,X)は群ではないが、(R*,X)は群となると言う事もありますが、 そういうアルファベット記号の使い方をしない場合もあります。
- koko_u_u
- ベストアンサー率18% (216/1139)
>丁寧に教えてください。 丁寧に教科書を読むことから始めて下さい。
関連するQ&A
- 代数の次の問題を教えてください
代数の次の問題を教えてください (1)3次対称群S3においてб=(1,2)と交換可能な元をすべて求めよ (2)4次対称群S4においてб=(1,2)と交換可能な元をすべて求めよ (3)4次対称群S4の部分群で位数が3以下のものをすべて求めよ (4)4次対称群S4の巡回部分群で位数が4のものをすべて求めよ (5)τбτ^-1=(145)(23)をみたすτを1つ求めよ (1)(2)は確認のためなので答えのみお願いします (3)(4)(5)はちょっとした解説をつけていただけるとありがたいです
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 代数学の問題なのですが、
代数学の問題なのですが、 G=〈x〉を位数n<∞の巡回群とする。mは自然数でnはmZに属する元で位数mの部分群がただひとつ存在することを証明せよ。 という問題なのですが教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 代数学の群について…
代数学の群について… 助けていただきたいのですが。 5次対称群S5において3個の互換(12)、(13)、(45)で生成される部分群をHとする。 1.Hの位数とその構造を調べよ 2.剰余類S5/Hの代表系をひと組与えよ。 よろしくお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 次の代数学の真偽を教えてください。(理由も添えて)
1.位数が素数である有限群は巡回群である。 2.有限アーベル群はすべて巡回群である。 3.巡回群はすべてアーベル群(=可換群)である。 4.Z/4ZとZ/2Z×Z/2Zは共に位数4のアーベル群である。 5.Z/4ZとZ/2Z×Z/2Zとは同型な群である。 6.アーベル群の部分群はすべて正規部分群である。 7.位数が同じ有限群GとG'は同型である。 8.位数が素数である有限群はアーベル群(=可換群)である。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 代数学の、群の問題を教えて下さい。
nは正の整数とする。Gは位数nの巡回群とする。この問題では、GはZ/nZに同型であることを示す。 (1)Gの生成元xをとり(つまりG=<x>)、群の準同型定理f:Z→Gをm∈Zに対してf(m)=x^mで定める。このときfは全射であることを示しなさい。またKerf=nZであることを示しなさい。 (2)fに準同型定理を適用して、Z/nZ≃Gを示しなさい。 という問題です。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 【代数学】位数2の元
代数学の本を読んでいて、練習問題の解説に以下のような記述がありました: pを素数とするとき、Z/pZは体だから、x^2≡1(mod p)なる元はpを法として-1ただ1つ。乗法群(Z/pZ)*において、先にみたように位数2の元はただ1つだから…(以下省略。Zは整数全体のなす環) この解説で「Z/pZは体だから、x^2≡1(mod p)なる元はpを法として-1ただ1つ」(*)という部分が理解できません。ただし、その後の文で「乗法群の位数2の元はただ1つ」とあるので、(*)は1以外でそのようなxは-1だけ(mod p)という意味ではないかと考えています。そこで以下の質問をさせていただきたいです。 1.一般に、体の乗法群には位数2の元は1つだけあるといえるでしょうか。その場合、なぜそういえるのかの説明またはヒントをいただけないでしょうか。 2.1の答えがnoの場合、反例があれば教えていただきたいです。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数