【代数学】位数2の元

質問

代数学の本を読んでいて、練習問題の解説に以下のような記述がありました：
pを素数とするとき、Z/pZは体だから、x^2≡1（mod p）なる元はpを法として-1ただ1つ。乗法群(Z/pZ)*において、先にみたように位数2の元はただ1つだから…（以下省略。Zは整数全体のなす環）

この解説で「Z/pZは体だから、x^2≡1（mod p）なる元はpを法として-1ただ1つ」（*）という部分が理解できません。ただし、その後の文で「乗法群の位数2の元はただ1つ」とあるので、（*）は1以外でそのようなxは-1だけ（mod p）という意味ではないかと考えています。そこで以下の質問をさせていただきたいです。
１．一般に、体の乗法群には位数2の元は1つだけあるといえるでしょうか。その場合、なぜそういえるのかの説明またはヒントをいただけないでしょうか。
２．１の答えがnoの場合、反例があれば教えていただきたいです。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

何も難しくない。Fを一般の体とする。

要はxが（乗法群において）位数2の元ならば x^2 = 1を満たすから、x^2 = 1をFにおいて解けばよい。それだけ。

で、普通に変形して、 (x+1) (x-1) = 0 としたとき、『体は整域であるから』x+1=0 または x-1 = 0が成り立つ。従って、x=-1またはx=1の何れか。x=1なら位数は1なので、一般に体Fにおいて、（乗法群において）位数2の元は-1しかない ....

とここまで書いたが、これは注意が必要。Fの標数が2の場合、1=-1であるから、（乗法群において）位数2の元は存在しないことになる。

お礼

ありがとうございます。わかりました。