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位数45の群が位数9の正規部分群をもつことの証明はどうすればいいのでし

位数45の群が位数9の正規部分群をもつことの証明はどうすればいいのでしょうか? シローの定理が必要だとおもうのですが。。。 <シローの定理> (1)p^r | |G| ==> Gは位数p^rの部分群をもつ よってシローp-部分群は存在する (2)H: Gのp-部分群とすれば Hを含むシローp-部分群が存在する (3)シローp-部分群は互いにG共役 (4)シローp-部分群の個数は 1+k*p の形 (k∈Z,k≧0)

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位数45の群をG、Gの位数9の部分群をPとする。 ><シローの定理> >(4)シローp-部分群の個数は1+k*p の形 (k∈Z,k≧0) がポイント しかもシローp-部分群の個数は|G:P|だから、|G|=45 の約数である。 45の約数1,3,5,9,15,45のうち3で割ると1余るのは1のみである したがってGのシロー9-部分群の個数は1個である。 Gから元kを任意にとる。 群kPk^(-1)を考えるとkPk^(-1)の位数は9である。 ところが、のシロー9-部分群は1個だからkPk^(-1)=P でなければならない。 したがってPはGの正規部分群である。

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