代数学

質問

代数学で分からない問題が・・・。

（１）有限環Ｚ/nＺの単元全体(Ｚ/nＺ)*の成す群の位数は
オイラー関数φ(n)と一致することを示せ。
ただし、φ(n)=#{1≦x≦n|(x,n)=1}とする。

（２）有限環Ｚ/nＺが体であるための必要十分条件はnが
　　　素数であることを示せ。

なんですが、わかりません。一つでもいいので教えてください。よろしくお願いしますm(__)m

回答No.1

milkysugar · ベストアンサー

どちらも同じような問題ですね．

Z/nZの単位元aとは，ax ≡ 1 (mod n) （合同式ってご存知ですか？）なる数bが存在するaのことですね．
この式は ax + ny = 1 というx,yの方程式に整数解があることと同値です．

また，環が体であるための必要十分条件は，0以外の全ての元に（積に関する）逆元があること，つまり0以外の全ての元が単元であることです（重要なのでよく確認してください）．

だからあとは ax + ny = 1 が解を持つための a の条件を考えればよいわけです．
それはご自分で考えてみてください．必要条件は公約数に，十分条件はユークリッドの互除法に注目すれば導けます（前者は簡単）．
(2)は φ(n) = n-1 となるためのnの条件ですね．

お礼

ありがとうございましたm(__)mできればaの条件を教えてほしいのですが・・・。

回答No.2

milkysugar

#1の者です．

整数xとyが自由に動くとき，ax+nyはaとnの最大公約数で割り切れますね？
ということはax+ny=1に解があるとき，aとnの最大公約数は1，すなわちaとnは互いに素です．これが必要条件．
あとはこれが十分条件であることを示すのですが，これはユークリッドの互除法からわかります．

詳しくは初等整数論の本を見てください．遠山 啓 著『初等整数論』（日本評論社）なんかが易しい本です．

お礼

ご丁寧にどうもありがとうございましたm(__)m