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代数学の、群の問題を教えて下さい。

nは正の整数とする。Gは位数nの巡回群とする。この問題では、GはZ/nZに同型であることを示す。 (1)Gの生成元xをとり(つまりG=<x>)、群の準同型定理f:Z→Gをm∈Zに対してf(m)=x^mで定める。このときfは全射であることを示しなさい。またKerf=nZであることを示しなさい。 (2)fに準同型定理を適用して、Z/nZ≃Gを示しなさい。 という問題です。お願いします。

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nは正の整数とする Gは位数nの巡回群とする (1) Gは位数nの巡回群だから 巡回群の定義から Gの生成元xに対して G=<x>={x^k|k∈Z} となる f:Z→Gをm∈Zに対してf(m)=x^mで定める と 任意の元y∈G={x^k|k∈Z}に対して y=x^kとなるk∈Zがあるから f(k)=x^k=yとなるから fは全射である m∈nZとすると m=nkとなるk∈Zがある Gの単位元をeとすると Gの位数はnだから f(m)=x^m=x^{nk}=(x^k)^n=e だから m∈Kerf だから nZ⊂Kerf m∈Kerfとすると f(m)=x^m=e xの位数はnだから mはnの倍数となる m=nkとなるk∈Zがある m=nk∈nZ Kerf⊂nZ (nZ⊂Kerf)&(Kerf⊂nZだから) ∴ Kerf=nZ (2) {k,m}⊂Zに対して f(k+m)=x^{k+m}=(x^k)(x^m)=f(k)f(m) となるから fは準同型だから(1)から fはZからGへの全射準同型だから 準同型定理から Z/Kerf~同型~G (1)からKerf=nZだから ∴ Z/(nZ)~同型~G

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