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対称群、交代群。

群論の課題が出たのですが、よくわかりません。 アドバイスお願いします。 (1)4次の交代群A_4の位数4の可換部分群Kを答えよ。 (2)対称群S_4の部分群Hで(1)のKを含み、 位数8の2面体群と同型な群を答えよ。 (1)で部分群の位数は、4の約数だから、1,2,4の どれかであることは、わかるのですが、それからが わかりません。あと、A_4に位数4の元は、存在しない といわれたのですが、なぜですか? (2)は、どうやって同型な群を見つければよいのですか?  よろしくお願いします。

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  • 回答No.2

何か勘違いされてませんか。 >(1)で部分群の位数は、4の約数だから、1,2,4>のどれかであることは、わかるのですが、 上の方で位数が4であるといってるのと合わないのですが。それとも、指数とごっちゃになってるのですか。 >A_4に位数4の元は、存在しないといわれたのですが、なぜですか? 何を疑問に思っているかよく分からないのですが。 位数4の元が存在しないのが何故かということなら わかりません。 存在しない事が何故分かるかという事なら、確かめてみて下さいと答えます。 4次対称群はたった24個しか要素が有りませんので しらみつぶしで調べても大した話じゃないですよね。 もし貴兄が学生でしたら良い訓練にもなりますし。

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(1)  {e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)} (2)  {e,g=(1234),g^2,g^3,(12)(34),(13)(24),(14)(23)} 群の元の位数が、群の位数の約数です。 ”同型”とは、簡単に言えば、群としては、同じものという意味です。正四角形の各頂点に、1から4までの番号を振って、回転させてみれば、2面体群D_4を得ることができます。 4次の対称群S_4の位数は、4!=24、4次の交代群A_4の位数は、24/2=12ですから、一つ一つ書き出して、調べてみることもできますね。

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