S4の正規部分群

質問

V={e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}が4次対称群S4の位数４の正規部分群となることは分かるのですが、Vの他にS4の位数4の正規部分群は存在しないのでしょうか？

回答No.1

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存在しません．
もしそのようなもの(Gとします)が存在したとすれば，
Gは位数が2の元gを少なくとも一つ含むことになります．gは(ab)(cd) (a,b,c,dは全て異なる)かあるいは
(ab) (a,bは異なる)という形をしています．
gに共役な元は全てGに入らなければいけないので
(GはS4の正規部分群だから)，
前者の場合はGはVを含むことになり，よってG=Vとなります．
後者の場合はGは任意の互換を含むことになるので
G=S4となり，これは位数4であることに矛盾します．

お礼

わかりました。gの形を考えればよかったのですね。ありがとうございました。