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Pが群Gのシローp-部分群であるとき Pが唯一のシローp-部分群である

Pが群Gのシローp-部分群であるとき Pが唯一のシローp-部分群であることと PがGの正規部分群であることが同値であることを シローの定理を使って示すにはどうすればいいのでしょうか? <シローの定理> (1)p^r | |G| ==> Gは位数p^rの部分群をもつ よってシローp-部分群は存在する (2)H: Gのp-部分群とすれば Hを含むシローp-部分群が存在する (3)シローp-部分群は互いにG-共役 (4)シローp-部分群の個数は 1+k*p の形 (k∈Z,k≧0)

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  • 回答No.1

p-シロー群が正規部分群とは次の二つのことが成り立つ。 (1) Pは正規部分群 ⇔ xP = Px,∀x. (2) P,Qがp-シロー群 ⇒ aP = Qa,∃a. Q = aPa^{-1} (2)より = P (1)より よってP=Q、つまり、ただ一つしかない。 p-シロー群がP一つしかないとき ⇒すべてのxに対してp-シロー群xPx^{-1}とPは共役。 ⇒axPx^{-1} = Pa,∀x ⇒yPy^{-1} = P,∀y (y = axと変形) ⇒Pは正規部分群 どうかな、てきとーなんで、ゆるしてね

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質問者からのお礼

前半はすんなり理解できたのですが >p-シロー群がP一つしかないとき >⇒すべてのxに対してp-シロー群xPx^{-1}とPは共役。 この部分がいまいちなので、もう少し調べてみます。 読みやすい回答ありがとうございました。m(、、)m

その他の回答 (1)

  • 回答No.2

>(3)シローp-部分群は互いにG-共役 がポイント。 Gのシロー部分群Qを任意に取る。 Gの元kを用いてQ=kPk^(-1)と書けることがいえる。 PはGの正規部分群だからkPk^(-1)=Pがいえるから Q=Pがいえる。 したがってGのシロー部分群はPのみであることがわかる。

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質問者からのお礼

納得です。 こっちは自分で気づけないといけなかったです。 回答ありがとうございます。

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