Pが群Gのシローp-部分群であるとき Pが唯一のシローp-部分群である

質問

Pが群Gのシローp-部分群であるとき Pが唯一のシローp-部分群であることと

PがGの正規部分群であることが同値であることを

シローの定理を使って示すにはどうすればいいのでしょうか？

<シローの定理>
(1)p^r | |G| ==> Gは位数p^rの部分群をもつ
よってシローp-部分群は存在する

(2)H: Gのp-部分群とすれば
Hを含むシローp-部分群が存在する

(3)シローp-部分群は互いにG-共役

(4)シローp-部分群の個数は
1+k*p の形 (k∈Z,k≧0)

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

p-シロー群が正規部分群とは次の二つのことが成り立つ。

(1) Pは正規部分群 ⇔ xP = Px,∀x.
(2) P,Qがp-シロー群 ⇒ aP = Qa,∃a.

Q
= aPa^{-1}　(2)より
= P　(1)より

よってP=Q、つまり、ただ一つしかない。

p-シロー群がP一つしかないとき
⇒すべてのxに対してp-シロー群xPx^{-1}とPは共役。
⇒axPx^{-1} = Pa,∀x
⇒yPy^{-1} = P,∀y
(y = axと変形）
⇒Pは正規部分群

どうかな、てきとーなんで、ゆるしてね

お礼

前半はすんなり理解できたのですが

>p-シロー群がP一つしかないとき
>⇒すべてのxに対してp-シロー群xPx^{-1}とPは共役。

この部分がいまいちなので、もう少し調べてみます。

読みやすい回答ありがとうございました。ｍ(、、)ｍ

回答No.2

yoikagari

＞(3)シローp-部分群は互いにG-共役
がポイント。

Gのシロー部分群Qを任意に取る。
Gの元kを用いてQ=kPk^(-1)と書けることがいえる。
PはGの正規部分群だからkPk^(-1)=Pがいえるから
Q=Pがいえる。

したがってGのシロー部分群はPのみであることがわかる。

お礼

納得です。

こっちは自分で気づけないといけなかったです。

回答ありがとうございます。