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位数6の群を分類したいです。

Gを位数が6の群とする G≅Z/6Z or S3 のどちらかに同型になることを示したいのですが、 シローの定理からP3:3-Sylow部分群 s3:P3の個数 P2:2-Sylow部分群 s2:P2の個数 とすると、シローの定理からs3=1、s2=1,3となり、 (1)s2=1の時は、G≅Z/2Z×Z/3Z≅Z/6Z ということは分かったのですが、 (2)s2=3の時はG≅S3になると思うのですが、これをどう示したらよいかが分かりません。 教えていただけませんですか?

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シローの定理より 2シロー群{e,a}が存在 3シロー群{e,b,b^2}が存在.3シロー群はひとつしかない. そこで ab の位数 o(ab) を考える o(ab)=1,2,3,6である o(ab)=1ならば ab=e,b=a^{-1}=aで不適 o(ab)=6ならば 位数6の群Gに位数6の要素があるので Gは巡回群Z/6Z o(ab)=2ならば abab=e つまり aba=b^{-1} つまり Gはa^2=e, b^3=e aba=b^{-1}で生成される群でありこれは 三次二面体群D_3すなわち3次対称群S_3 o(ab)=3ならば abが生成する巡回群<ab>は3シロー群 3シロー群はひとつしかないので ab=e,b,b^2 ab=eは不適 ab=bも不適 ab=b^2も不適 よってo(ab)は3とはならない 以上より 位数6の有限群は 巡回群か3次の対称群 実際はもっと強いことがいえて 素数p,qに対して 位数pqの群が決定できます シローの定理と自己同型の組合せ ♯ぐぐると力作のPDFがすぐ見つかります

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 少し分かったような気がします

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