一問でもいいので分かる方解答お願いします

質問

(1)ｐを素数とし、nを正整数とする
１．位数がp^nの群の中心Z(G)の位数は、ｐ以上であることを示せ
２．位数がp^nの群は指数がpの正規部分群を持つことを示せ

(2)S_6のシロー３・群は何か答えよ

(2)に関してはS_6のシロー３・群は、位数が3^2の部分群としか分からなかったのですが、ほかにどのように解答すればよいですか？

回答No.1

muturajcp

(1)
1.
s∈G
[s]={tst^{-1}|t∈G}をsの共役類とする
G/～={[s]|s∈G}
G=∪_{[s]∈G/～}[s]
|G|=Σ_{[s]∈G/～}|[s]|
C(s)={t∈G|ts=st}をsの中心化群とする
xC(s)=yC(s)∈G/C(s)とすると
→y^{-1}x∈C(s)
→(y^{-1}x)s=s(y^{-1}x)
→xsx^{-1}=ysy^{-1}∈[s]
だから
f:G/C(s)→[s],xC(s)∈G/C(s)→f(xC(s))=xsx^{-1}
とfを定義できる
y∈[s]→y=xsx^{-1}=f(xC(s))となるxがあるからf全射
f(xC(s))=f(yC(s))とすると
→xsx^{-1}=ysy^{-1}
→(y^{-1}x)s=s(y^{-1}x)
→y^{-1}x∈C(s)
→xC(s)=yC(s)
→fは単射
→fは全単射
↓
|[s]|=|G/C(s)|
|G/C(s)|はGの部分群の位数だから|G|=p^nの約数だから
|[s]|=|G/C(s)|=p^i,(0≦i≦n)
sが中心元の類では|[s]|=1で
sが中心元以外の類では|[s]|=p^i,i≧1,|[s]|はpの倍数だから
Z(G)の位数をzとすれば,z=p^n-Σ_{|[s]|=p^i&i≧1}p^i
だからzもpの1倍以上の倍数だから
Z(G)の位数は、p以上である

2.
Z_1=Z(G)
Z_{k+1}/Z_k=Z(G/Z_k)
とする
Z_1の位数はp^i,i≧1、p以上
G/Z_kの位数は、p^jだから
Z_{k+1}/Z_kの位数は、p以上になるから
|Z_{k+1}/Z_k|>1
|Z_{k+1}|>|Z_k|
Gは有限群だから
Z_m=Gとなるmがある
Z_m/Z_{m-1}=G/Z_{m-1}は位数p^j,(j≧1)の可換群だから
G/Z_{m-1}の正規部分群H/Z_{m-1}で
位数|H/Z_{m-1}|=p^{j-1}となるものがある
HはGの正規部分群で|G/H|=pだから
Hの指数(G:H)=pとなる

(2)
{(1),(123),(132),(456),(123)(456),(132)(456),(465),(123)(465),(132)(465)}
{(1),(124),(142),(356),(124)(356),(142)(356),(365),(124)(365),(142)(365)}
{(1),(125),(152),(346),(125)(346),(152)(346),(364),(125)(364),(152)(364)}
{(1),(126),(162),(345),(126)(345),(162)(345),(354),(126)(354),(162)(354)}
{(1),(134),(143),(256),(134)(256),(143)(256),(265),(134)(265),(143)(265)}
{(1),(135),(153),(246),(135)(246),(153)(246),(264),(135)(264),(153)(264)}
{(1),(136),(163),(245),(136)(245),(163)(245),(254),(136)(254),(163)(254)}
{(1),(145),(154),(236),(145)(236),(154)(236),(263),(145)(263),(154)(263)}
{(1),(146),(164),(235),(146)(235),(164)(235),(253),(146)(253),(164)(253)}
{(1),(156),(165),(234),(156)(234),(165)(234),(243),(156)(243),(165)(243)}