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一問でもいいので分かる方解答お願いします

(1)pを素数とし、nを正整数とする 1.位数がp^nの群の中心Z(G)の位数は、p以上であることを示せ 2.位数がp^nの群は指数がpの正規部分群を持つことを示せ (2)S_6のシロー3・群は何か答えよ (2)に関してはS_6のシロー3・群は、位数が3^2の部分群としか分からなかったのですが、ほかにどのように解答すればよいですか?

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  • 回答No.1

(1) 1. s∈G [s]={tst^{-1}|t∈G}をsの共役類とする G/~={[s]|s∈G} G=∪_{[s]∈G/~}[s] |G|=Σ_{[s]∈G/~}|[s]| C(s)={t∈G|ts=st}をsの中心化群とする xC(s)=yC(s)∈G/C(s)とすると →y^{-1}x∈C(s) →(y^{-1}x)s=s(y^{-1}x) →xsx^{-1}=ysy^{-1}∈[s] だから f:G/C(s)→[s],xC(s)∈G/C(s)→f(xC(s))=xsx^{-1} とfを定義できる y∈[s]→y=xsx^{-1}=f(xC(s))となるxがあるからf全射 f(xC(s))=f(yC(s))とすると →xsx^{-1}=ysy^{-1} →(y^{-1}x)s=s(y^{-1}x) →y^{-1}x∈C(s) →xC(s)=yC(s) →fは単射 →fは全単射 ↓ |[s]|=|G/C(s)| |G/C(s)|はGの部分群の位数だから|G|=p^nの約数だから |[s]|=|G/C(s)|=p^i,(0≦i≦n) sが中心元の類では|[s]|=1で sが中心元以外の類では|[s]|=p^i,i≧1,|[s]|はpの倍数だから Z(G)の位数をzとすれば,z=p^n-Σ_{|[s]|=p^i&i≧1}p^i だからzもpの1倍以上の倍数だから Z(G)の位数は、p以上である 2. Z_1=Z(G) Z_{k+1}/Z_k=Z(G/Z_k) とする Z_1の位数はp^i,i≧1、p以上 G/Z_kの位数は、p^jだから Z_{k+1}/Z_kの位数は、p以上になるから |Z_{k+1}/Z_k|>1 |Z_{k+1}|>|Z_k| Gは有限群だから Z_m=Gとなるmがある Z_m/Z_{m-1}=G/Z_{m-1}は位数p^j,(j≧1)の可換群だから G/Z_{m-1}の正規部分群H/Z_{m-1}で 位数|H/Z_{m-1}|=p^{j-1}となるものがある HはGの正規部分群で|G/H|=pだから Hの指数(G:H)=pとなる (2) {(1),(123),(132),(456),(123)(456),(132)(456),(465),(123)(465),(132)(465)} {(1),(124),(142),(356),(124)(356),(142)(356),(365),(124)(365),(142)(365)} {(1),(125),(152),(346),(125)(346),(152)(346),(364),(125)(364),(152)(364)} {(1),(126),(162),(345),(126)(345),(162)(345),(354),(126)(354),(162)(354)} {(1),(134),(143),(256),(134)(256),(143)(256),(265),(134)(265),(143)(265)} {(1),(135),(153),(246),(135)(246),(153)(246),(264),(135)(264),(153)(264)} {(1),(136),(163),(245),(136)(245),(163)(245),(254),(136)(254),(163)(254)} {(1),(145),(154),(236),(145)(236),(154)(236),(263),(145)(263),(154)(263)} {(1),(146),(164),(235),(146)(235),(164)(235),(253),(146)(253),(164)(253)} {(1),(156),(165),(234),(156)(234),(165)(234),(243),(156)(243),(165)(243)}

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