代数学（ｐシロー群）について

質問

問：NをGの正規部分群、PをGの一つのｐシロー群とすると、NP／NはG／Nのｐシロー群であることを示せ。

G/N＝（Na｜ａ∈Ｈ）について、（Na）（Nb）＝N(ab）と定義すれば、この積に対して群をつくる。
最高べきの位数の部分群を素であることを示すとか書いてありましたが、よくわかりませんでした。

ご回答をお願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

PはGの1つのpシロー群
だから
Pの位数
|P|=p^e
GにおけるPの指数
(G:P)=q
Gの位数
|G|=(p^e)q
(p,q)=1,(pとqは互いに素)
となる自然数p,e,qが存在する

NはGの正規部分群だから
P∩NはPの正規部分群で
第2同型定理から
P/P∩N～NP/N
NP/NはPの部分群と同型になる
|NP/N|=(P:P∩N)
|NP/N|=|P|/|P∩N|
|NP/N|=(p^e)/|P∩N|
NP/Nの位数はp^eの約数となるから
|NP/N|=p^mとなる整数m≦eがある

G/NにおけるNP/Nの指数を
(G/N:NP/N)=k
とすると
k
=|G/N|/|NP/N|
=(|G|/|N|)(|NP|/|N|)
=|G|/|NP|
=(G:NP)
=(G:P)/(NP:P)
=q/(NP:P)
だから
kはqの約数だから
pとqは互いに素だから
kとpは互いに素となる

|G/N|=|NP/N|(G/N:NP/N)
(G/N:NP/N)=k
|NP/N|=p^m
|G/N|=(p^m)k
(p,k)=1,(pとkは互いに素)
だから
NP/NはG/Nのpシロー群である