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代数学について(正規部分群)

問:群Gの中心ZはGの正規部分群であることを示せ。 G の任意の元 a に対して a-1Na ⊆ N が成り立つ 群Gの元aに共役な元aだけであるとき、G=C(a)となり、aは群Gの任意の元と可換である。このような元の集合をGの中心という という部分はかいてあったのですが、いまいち言葉の意味が判りませんでしたので、 ご回答をお願いします。

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こんにちは。 群Gの中心ZがGの正規部分群であることを示せという質問で、本を読んで分からない所があるようなので 説明します。なお集合をいくつかの元で表すとき、( )ではなく、{ }で表します。例えば A={1,2,3}のようにします。 まず群Gの「演算*」の記号を省略して書くことにします。 [定義1] 群Gの元aに対し、b∈Gが元aと共役であるとは、次のときをいう。 bがaと共役 ⇔ ∃x∈G でb=x^(-1)ax と書ける。 このとき、bを「aの共役元」と呼ぶ。 [定義2] 元a∈Gに対し、aの共役元全体を C(a)で表す。すなわち C(a)={b∈G|∃x∈G で b=x^(-1)ax}={x^(-1)ax|x∈G} つまり、C(a)は xがGの中を動きまわったときの x^(-1)axの形の元の集まりを指す。   C(a)をaの共役類という。C(a)はGの部分集合である。C(a)⊆G ・・・(2.1) しかし C(a)は一般にはGの部分群ではない。(単位元eを含まぬことがある) そこで質問に書いてあるように、aの共役(元)がaだけであるとは、 任意のx∈Gに対して、x^(-1)ax=a ・・・(#)となることを意味する。 ゆえに [命題3] C(a)={x^(-1)ax|x∈G}において、 aの共役元はaだけである。⇔C(a)={a}  (⇔は「同値」の記号) したがって質問者の C(a)=Gというのは間違っていると思います。 [多分 aがGの中を動きまわったときの和集合は「∪C(a)=G」となることと混同している]と思われます。 次に [命題4] a∈G,x∈Gに対し x^(-1)ax=a ⇔ax=xa ・・・(4.1) 「証明」 eを単位元とする。(#)の両辺に左からxを掛ければ x^(-1)ax=a ⇒ x{x^(-1)}ax=xa ⇔ eax=xa ⇔ax=xa となり、逆に ax=xa ⇒ この両辺に左からx^(-1)を掛ければ x^(-1)ax=x^(-1)(xa) となりこの右辺={x^(-1)x}a=ea=aとなる。こうして ax=xa ⇒x^(-1)ax=a となる。よって  [命題4]が成り立つ。  (証明終わり) ゆえに [系5] aの共役元はaだけである ⇔∀x∈Gに対し ax=xa ・・・(5.1)  [定義6] SをGの部分集合(S⊆G)としたとき、Gの部分集合 Z(S)={a∈G|as=sa for ∀s∈S}をSの中心化とよぶ。 Sの任意の元と演算が交換可能な元a∈Gの集まり、ということ 特にS=Gに取ったときのZ(G)をZと書き、Gの中心という。したがって[系5]は次のように言い換えられる。 [命題7] aの共役元はaだけである ⇔ a∈Z(G)  ゆえに[系5]と[命題3]により [系8] Z(G)={a∈G|aの共役元はaだけである}   ={a∈G|C(a)={a}} [命題8] 上のZ(S)はGの部分群である。特にGの中心Z(G)=ZはGの部分群である。 「証明」 ∀a∈Z(S),∀b∈Z(S)をとる。このときまず、ab∈Z(S)を示す。 a∈Z(S) ⇔ as=sa for ∀s∈S,b∈Z(S) ⇔ as=sa for ∀s∈S だから、(ab)s=a(bs)=a(sb)=(as)b=(sa)b=s(ab) すなわち (ab)s=s(ab) for ∀s∈S よってab∈Z(S)。次に a^(-1)∈Z(S)を示す。as=sa for ∀s∈Sの両辺に左からa^(-1),右からも a^(-1)を掛けて、a^(-1)(as)a^(-1)=a^(-1)sa(a^(-1)) for ∀s∈S つまり s(a^(-1))=a^(-1)s for ∀s∈S すなわち a^(-1)s=s(a^(-1)) for ∀s∈S よって a^(-1)∈Z(S)となる。この2つのことから、Z(S)はGの部分群である ことが分かる。(証明終わり) ☆ この「証明」で∀s∈Sを∀x∈Gに替えれば、Z(G)=ZがGの部分群であることが分かる。 そこで、ZがGの部分群であることが分かったので、ZがGの正規部分群であることを示すには、 あと∀x∈Gに対し x^(-1)Zx=Zを示せばよいことになった。一般に集合S⊆Gに対し Gの部分集合 aSや x^(-1)Sxを次にように定義する。 [定義9] a∈G,x∈Gのとき、  aS={as|s∈S} ,x^(-1)Sx={x^(-1)sx|s∈S}などとする。 ★ それでは∀x∈Gに対し x^(-1)Zx⊆Zの証明に移る。 x^(-1)Zx={x^(-1)ax|a∈Z}であるから、x^(-1)Zx⊆Zを示すにはa∈Zに対して  x^(-1)ax∈Z ・・・($1)を示せばよい。 ところが、a∈ZであるからaはGの任意の元と交換可能。よってx∈Gに対しても交換可能。 ゆえに、ax=xa ・・・($2)が成り立っている。よってx^(-1)ax=x^(-1)(xa)=a すなわち x^(-1)ax=a ・・・($3) a∈Zであるから x^(-1)ax=a∈Z となって($1)が示された。 よって ∀x∈Gに対し x^(-1)Zx⊆Z ・・・($4)がいえた。($4)において xは任意だから xの代わりにx^(-1)とおいて (x^(-1))^(-1)Zx^(-1)⊆Z すなわち xZx^(-1)⊆Z ・・・($5)   この両辺の左からx^(-1),右からxを掛けて、Z⊆x^(-1)Zx つまり x^(-1)Zx⊇Z・・・($6) ($5)と($6)より x^(-1)Zx=Z for ∀x∈G となって [命題8]のZ(G)=ZがGの部分群である ことと合わせて Z=Z(G)がGの正規部分群であることが示された。 ◎最後にもう一度、群Gの中心Z(G)(単にZと書いたりもする)の定義を書いておく。 Z(G)={a∈G|ax=xa for ∀x∈G},Z(G)はGの部分群である。なお[定義6]でZ(S)を Sの中心化とよんだが、[命題8]から Z(S)はGの部分群となるので、Z(S)は正確には 集合Sの中心化群という。「化」が付かないか付くかで違うことに注意。説明がくどくなった所 もありましたが、以上です。

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  • 回答No.2

こんにちは。 「訂正」があります。前の回答の 「★ それでは∀x∈Gに対し x^(-1)Zx⊆Zの証明に移る。」のところで 「x^(-1)Zx={x^(-1)ax|a∈Z}であるから、x^(-1)Zx⊆Zを示すにはa∈Zに対して  x^(-1)ax∈Z ・・・($1)を示せばよい。 ・・・・途中略 ($5)と($6)より x^(-1)Zx=Z for ∀x∈G となって [命題8]のZ(G)=ZがGの部分群である ことと合わせて Z=Z(G)がGの正規部分群であることが示された。」 としましたが、「($5)と($6)より」が間違っています。正しくは「($4)と($6)より」 です。 x^(-1)Zx⊆Z ・・・($4)とx^(-1)Zx⊇Z ・・・($6) により x^(-1)Zx=Z となります。 一般に集合A,Bに対して 集合が等しいとは、 「A=B ⇔ A⊆B かつ A⊇B 」が定義だからです。なお、中心Zが正規(normal)を示すのに、 x^(-1)Zx⊆Z と x^(-1)Zx⊇Z の両方を示して、x^(-1)Zx=Z for ∀x∈G をいいましたが、 片方だけ示せば、もう一方がそこでの証明のように導かれるからです。  [定義] Gの「部分群」が正規部分群(normal subgroup)であるとは、 「x^(-1)Nx=N for ∀x∈G」のときをいうのが「正確」なので、少し詳しく証明してみました。 「for ∀x∈G」とあるのは、「任意のx∈Gに対して」と言う意味です。 ◎なお x^(-1) は「xの-1乗」のことで、「xの逆元」を表します。f(G)が部分群の回答で 、 群の定義からは、x^(-1)*x=e(単位元)が出ますが、順序交換した、x*x^(-1)=eがなりたつことも 群の定義の「3つの条件」から導くことができます。 つぎの問題である「pシロー群」の問題は難しいです。pシロー群というとき、pは素数です。 これには、まず群Gの「位数」の概念と 「pシロー群」の定義と「同値関係」と「左剰余類 G/N」および 「Nが正規部分群のとき、左剰余類 G/Nは単なる集合だけでなく群をなす」という剰余群など沢山の 知識と理解を使います。最後については、質問者が書いているように NaとNbの積 Na*NbについてNa*Nb=N(a*b) 及び (Na)の逆元がN(a^(-1))であることを示さねば なりません。  回答が分からないときは、その部分をノートや用紙に2回くらい写してみて ください。粘り強く忍耐をもって学習を続けて行ってください。分からない所は頭の片隅に 残しておいて学習を続けていけば、あるときそういうことなのか、というときが やって来ます。それまで辛抱強く、諦めずに頑張ることです。 以上「訂正」と補足です。

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