代数学について（正規部分群）

質問

問：群Gの中心ZはGの正規部分群であることを示せ。

G の任意の元 a に対して a-1Na ⊆ N が成り立つ

群Ｇの元ａに共役な元ａだけであるとき、Ｇ＝Ｃ（ａ）となり、ａは群Ｇの任意の元と可換である。このような元の集合をＧの中心という

という部分はかいてあったのですが、いまいち言葉の意味が判りませんでしたので、
ご回答をお願いします。

回答No.1

kup3kup3 · ベストアンサー

こんにちは。
群Gの中心ZがGの正規部分群であることを示せという質問で、本を読んで分からない所があるようなので
説明します。なお集合をいくつかの元で表すとき、(　）ではなく、{　}で表します。例えば　A={1,2,3}のようにします。
まず群Gの「演算*」の記号を省略して書くことにします。

[定義１]
群Gの元aに対し、b∈Gが元aと共役であるとは、次のときをいう。
bがaと共役　⇔　∃x∈G　でb=x^(-1)ax　と書ける。

このとき、bを「aの共役元」と呼ぶ。

[定義２]
元a∈Gに対し、aの共役元全体を　C(a)で表す。すなわち
C(a)={b∈G|∃x∈G　で　b=x^(-1)ax}={x^(-1)ax|x∈G}
つまり、C(a)は　xがGの中を動きまわったときの　x^(-1)axの形の元の集まりを指す。

C(a)をaの共役類という。C(a)はGの部分集合である。C(a)⊆G　・・・(2.1)　しかし
C(a)は一般にはGの部分群ではない。(単位元eを含まぬことがある）

そこで質問に書いてあるように、aの共役(元)がaだけであるとは、
任意のx∈Gに対して、x^(-1)ax=a　・・・(#)となることを意味する。
ゆえに

[命題３]
C(a)={x^(-1)ax|x∈G}において、
aの共役元はaだけである。⇔C(a)={a}　　（⇔は「同値」の記号）

したがって質問者の　C(a)=Gというのは間違っていると思います。
[多分　aがGの中を動きまわったときの和集合は「∪C(a)=G」となることと混同している]と思われます。

次に
[命題４]
a∈G,x∈Gに対し　x^(-1)ax=a　⇔ax=xa　・・・(4.1)
「証明」
eを単位元とする。(#)の両辺に左からxを掛ければ
x^(-1)ax=a　⇒　x{x^(-1)}ax=xa　⇔　eax=xa　⇔ax=xa　となり、逆に
ax=xa　⇒　この両辺に左からx^(-1)を掛ければ　x^(-1)ax=x^(-1)(xa)
となりこの右辺={x^(-1)x}a=ea=aとなる。こうして　ax=xa　⇒x^(-1)ax=a　となる。よって
　[命題４]が成り立つ。　　（証明終わり）

ゆえに
[系５]
aの共役元はaだけである　⇔∀x∈Gに対し ax=xa　・・・(5.1)　

[定義６]
SをGの部分集合(S⊆G)としたとき、Gの部分集合
Z(S)={a∈G｜as=sa　for　∀s∈S}をSの中心化とよぶ。
Sの任意の元と演算が交換可能な元a∈Gの集まり、ということ

特にS=Gに取ったときのZ(G)をZと書き、Gの中心という。したがって[系５]は次のように言い換えられる。

[命題７]
aの共役元はaだけである　⇔　a∈Z(G)　

ゆえに[系５]と[命題３]により
[系８]
Z(G)={a∈G|aの共役元はaだけである}
　　={a∈G|C(a)={a}}

[命題８]
上のZ(S)はGの部分群である。特にGの中心Z(G)=ZはGの部分群である。
「証明」
∀a∈Z(S),∀b∈Z(S)をとる。このときまず、ab∈Z(S)を示す。
a∈Z(S)　⇔　as=sa　for　∀s∈S，b∈Z(S)　⇔　as=sa　for　∀s∈S
だから、(ab)s=a(bs)=a(sb)=(as)b=(sa)b=s(ab)　すなわち　(ab)s=s(ab)　for　∀s∈S
よってab∈Z(S)。次に　a^(-1)∈Z(S)を示す。as=sa　for　∀s∈Sの両辺に左からa^(-1),右からも
a^(-1)を掛けて、a^(-1)(as)a^(-1)=a^(-1)sa(a^(-1))　for　∀s∈S　つまり
s(a^(-1))=a^(-1)s　for　∀s∈S　すなわち　a^(-1)s=s(a^(-1))　for　∀s∈S
よって　a^(-1)∈Z(S)となる。この２つのことから、Z(S)はGの部分群である
ことが分かる。（証明終わり）

☆
この「証明」で∀s∈Sを∀x∈Gに替えれば、Z(G)=ZがGの部分群であることが分かる。
そこで、ZがGの部分群であることが分かったので、ZがGの正規部分群であることを示すには、

あと∀x∈Gに対し　x^(-1)Zx=Zを示せばよいことになった。一般に集合S⊆Gに対し
Gの部分集合　aSや　x^(-1)Sxを次にように定義する。

[定義９]　a∈G,x∈Gのとき、　
aS={as|s∈S}　，x^(-1)Sx={x^(-1)sx｜s∈S｝などとする。

★　それでは∀x∈Gに対し　x^(-1)Zx⊆Zの証明に移る。

x^(-1)Zx={x^(-1)ax｜a∈Z}であるから、x^(-1)Zx⊆Zを示すにはa∈Zに対して　
x^(-1)ax∈Z　・・・($1)を示せばよい。

ところが、a∈ZであるからaはGの任意の元と交換可能。よってx∈Gに対しても交換可能。
ゆえに、ax=xa　・・・($2)が成り立っている。よってx^(-1)ax=x^(-1)(xa)=a

すなわち　x^(-1)ax=a　・・・($3)　a∈Zであるから　x^(-1)ax=a∈Z　となって($1)が示された。

よって　∀x∈Gに対し　x^(-1)Zx⊆Z　・・・($4)がいえた。($4)において　xは任意だから
xの代わりにx^(-1)とおいて　(x^(-1))^(-1)Zx^(-1)⊆Z　すなわち　xZx^(-1)⊆Z　・・・($5)

この両辺の左からx^(-1),右からxを掛けて、Z⊆x^(-1)Zx　つまり　x^(-1)Zx⊇Z・・・($6)

($5)と($6)より　x^(-1)Zx=Z　for　∀x∈G　となって　[命題８]のZ(G)=ZがGの部分群である
ことと合わせて　Z=Z(G)がGの正規部分群であることが示された。

◎最後にもう一度、群Gの中心Z(G)（単にZと書いたりもする）の定義を書いておく。

Z(G)={a∈G|ax=xa　for　∀x∈G}，Z(G)はGの部分群である。なお[定義６]でZ(S)を
Sの中心化とよんだが、[命題８]から　Z(S)はGの部分群となるので、Z(S)は正確には
集合Sの中心化群という。「化」が付かないか付くかで違うことに注意。説明がくどくなった所
もありましたが、以上です。

回答No.2

kup3kup3

こんにちは。
「訂正」があります。前の回答の

「★　それでは∀x∈Gに対し　x^(-1)Zx⊆Zの証明に移る。」のところで

「x^(-1)Zx={x^(-1)ax｜a∈Z}であるから、x^(-1)Zx⊆Zを示すにはa∈Zに対して　
x^(-1)ax∈Z　・・・($1)を示せばよい。

・・・・途中略
($5)と($6)より　x^(-1)Zx=Z　for　∀x∈G　となって　[命題８]のZ(G)=ZがGの部分群である
ことと合わせて　Z=Z(G)がGの正規部分群であることが示された。」

としましたが、「($5)と($6)より」が間違っています。正しくは「($4)と($6)より」
です。

x^(-1)Zx⊆Z　・・・($4)とx^(-1)Zx⊇Z　・・・($6)　により　x^(-1)Zx=Z　となります。

一般に集合A,Bに対して　集合が等しいとは、
「A=B　⇔　A⊆B　かつ　A⊇B　」が定義だからです。なお、中心Zが正規(normal)を示すのに、
x^(-1)Zx⊆Z　と　x^(-1)Zx⊇Z　の両方を示して、x^(-1)Zx=Z　for　∀x∈G　をいいましたが、
片方だけ示せば、もう一方がそこでの証明のように導かれるからです。
　[定義]
Gの「部分群」が正規部分群(normal　subgroup)であるとは、

「x^(-1)Nx=N　for　∀x∈G」のときをいうのが「正確」なので、少し詳しく証明してみました。
「for　∀x∈G」とあるのは、「任意のx∈Gに対して」と言う意味です。

◎なお　x^(-1)　は「xの-1乗」のことで、「xの逆元」を表します。f(G)が部分群の回答で
、
群の定義からは、x^(-1)*x=e（単位元）が出ますが、順序交換した、x*x^(-1)=eがなりたつことも
群の定義の「３つの条件」から導くことができます。

つぎの問題である「ｐシロー群」の問題は難しいです。ｐシロー群というとき、pは素数です。

これには、まず群Gの「位数」の概念と
「ｐシロー群」の定義と「同値関係」と「左剰余類　G/N」および
「Nが正規部分群のとき、左剰余類　G/Nは単なる集合だけでなく群をなす」という剰余群など沢山の
知識と理解を使います。最後については、質問者が書いているように
NaとNbの積　Na*NbについてNa*Nb=N(a*b)　及び　(Na)の逆元がN(a^(-1)）であることを示さねば
なりません。　
回答が分からないときは、その部分をノートや用紙に2回くらい写してみて
ください。粘り強く忍耐をもって学習を続けて行ってください。分からない所は頭の片隅に
残しておいて学習を続けていけば、あるときそういうことなのか、というときが
やって来ます。それまで辛抱強く、諦めずに頑張ることです。

以上「訂正」と補足です。