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正規部分群

NをGの部分群、GにおけるNの指数が2であるときNは正規部分群であることを示せ。 これはどうやって導けばよいでしょうか?

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  • adinat
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Nに含まれないGの元xをひとつ取ってきます。 NはGの部分群なので xN={xg|g∈N}はNと素な集合です。(部分群ではないです) Nの指数が2なのだからGの左剰余類分解 G=N∪{xN} (∪は非交和) が得られますが、やはり同様に考えて右分解 G=N∪{Nx} (∪は非交和) も得られます。一般には集合として {xN}={Nx} とはならないのですが、本問では補集合が一致するので、 この式が成り立ちます。 x∈Nであれば、この式は当然成り立ちますから、 任意のx∈Gに対して xN=Nxがいえます。これはNが正規部分群であることの定義です。

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