正規部分群

質問

NをGの部分群、GにおけるNの指数が２であるときNは正規部分群であることを示せ。
これはどうやって導けばよいでしょうか？

回答No.1

adinat · ベストアンサー

Nに含まれないGの元xをひとつ取ってきます。
NはGの部分群なので
xN={xg|g∈N}はNと素な集合です。（部分群ではないです）
Nの指数が2なのだからGの左剰余類分解
G=N∪{xN}　(∪は非交和)
が得られますが、やはり同様に考えて右分解
G=N∪{Nx}　(∪は非交和)
も得られます。一般には集合として
{xN}={Nx}
とはならないのですが、本問では補集合が一致するので、
この式が成り立ちます。
x∈Nであれば、この式は当然成り立ちますから、
任意のx∈Gに対して
xN=Nxがいえます。これはNが正規部分群であることの定義です。

お礼

解答ありがとうございます。