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代数学 群の剰余群 指数について

群の剰余群や指数について今勉強していて、持っている参考書にあまり載っていないので、ネットでいろいろ調べていたんですが、 「Gが群でHがその部分群の時、指数[G:H]が2ならHは正規部分群になる」のが当たり前のように書いてあるのですが、これがわかりません。 正規部分群はxH=Hxが成立することから導くのでしょうか? 説明がつたなくてすいません。教えてください。よろしくおねがいします。

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みんなの回答

  • 回答No.3

指数2だから剰余類はH,G-Hの二つだけ。 従って、xがHに含まれなければ xH=G-H,Hx=G-HだからxH=Hx。 xがHに含まれれば当然xH=Hx。 よって、正規部分群になる。

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  • 回答No.2
  • minardi
  • ベストアンサー率82% (14/17)

指数[G:H]が2なら Hに属すx∈Gについて xH=H、Hx=H となることより またHに属さないx∈Gについて G=H∪xH またG=H∪Hx(H∩xH=Ф,H∩Hx=Ф) となることより xH=Hxとなるのではないでしょうか。

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  • 回答No.1
  • adinat
  • ベストアンサー率64% (269/414)

Hを指数2のGの部分群とするなら、もしx∈HならxH=Hになりますし(部分群だから当然ですよね)、Hx=Hでもあります(これも明らか)。またxがHに入っていなければ、当然xHのどの元もHに属しませんし、同じくHxのどの元もHに属しません。今、Hは指数2の部分群を仮定しているのだから、G=H+xH(あるHに属さないxを用いて)と分解できます。あるいは同じxを用いてG=H+Hxです。このことからxがHに入っていようがいなかろうが、xH=Hxが導かれ、正規部分群になるのです。 指数が3以上の場合は一般にこのようなことは出来ません。

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