群論「可解群」について

質問

Gを群とする．
「Gの正規部分群Nに対し，NとG/Nがともに可解群ならば，Gもまた可解群である．」
この証明なのですが，途中がわかりません．

（∵）

G/Nは可解群だから，G/Nの正規列

G/N=G_0/N⊃G_1/N⊃…⊃G_m/N=N/N

であって，同型定理より，商群

(G_(i-1)/N)/(G_i/N)≒G_(i-1)/Gi
（≒は同型の記号としてください）

がアーベル群となるものが存在する．
このとき「G_iはG_(i-1)の正規部分群」であることに注意する．…（？）

また，Nが可解群だから，Nの正規列

N=G_m⊃G_(m+1)⊃…⊃G_r={e}

であって，商群

G_(j-1)/G_j

がアーベル群となるものが存在する．このとき，

G=G_0⊃G_1⊃…⊃G_m=N⊃G_(m+1)⊃…⊃G_r={e}

はGの正規列であって，その商群はアーベル群よりなる．
よってGは可解群である．

Q.E.D

とあったのですが，途中の（？）の部分がわかりません．
なぜ「G_iはG_(i-1)の正規部分群」となるのでしょうか？

詳しい方お願いします．

回答No.3

ur2c

そうか、可換性はいらないんですね。
http://groupprops.subwiki.org/wiki/Normality_satisfies_inverse_image_condition

ありがとうございました。

回答No.2

ojisan7

「G_iがG_(i-1)の正規部分群なのはどうしてか」ということですか。
これは、明らかだと思います。G_(i-1)から、G_(i-1)/N　への自然な同型写像を、
φ:G_(i-1)→G_(i-1)/N
としたとき、第一同型定理より、G_(i-1)/Nの正規部分群G_i/Nの逆像は、
φ^[-1](G_i/N)=G_i
となり、しかも、G_iはG_(i-1)の正規部分群となります。

第一同型定理はいろいろな場面でよく使われる、重要な定理です。

回答No.1

ur2c

( G_{i-1} / N ) / ( G_i / N ) が存在して、それが可換群だからでは？
つまり、ほんとは下のように書くべきだったのでは？

[...]
( G_{i-1} / N ) / ( G_i / N ) が可換群となるものが存在する。
可換性により、G_i は G_{i-1} の正規部分群。
第３同型定理により
( G_{i-1} / N ) / ( G_i / N ) は G_i / G_{i-1} に同型。