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群論「可解群」について

Gを群とする. 「Gの正規部分群Nに対し,NとG/Nがともに可解群ならば,Gもまた可解群である.」 この証明なのですが,途中がわかりません. (∵) G/Nは可解群だから,G/Nの正規列 G/N=G_0/N⊃G_1/N⊃…⊃G_m/N=N/N であって,同型定理より,商群 (G_(i-1)/N)/(G_i/N)≒G_(i-1)/Gi (≒は同型の記号としてください) がアーベル群となるものが存在する. このとき「G_iはG_(i-1)の正規部分群」であることに注意する.…(?) また,Nが可解群だから,Nの正規列 N=G_m⊃G_(m+1)⊃…⊃G_r={e} であって,商群 G_(j-1)/G_j がアーベル群となるものが存在する.このとき, G=G_0⊃G_1⊃…⊃G_m=N⊃G_(m+1)⊃…⊃G_r={e} はGの正規列であって,その商群はアーベル群よりなる. よってGは可解群である. Q.E.D とあったのですが,途中の(?)の部分がわかりません. なぜ「G_iはG_(i-1)の正規部分群」となるのでしょうか? 詳しい方お願いします.

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みんなの回答

  • 回答No.3
  • ur2c
  • ベストアンサー率63% (264/416)

そうか、可換性はいらないんですね。 http://groupprops.subwiki.org/wiki/Normality_satisfies_inverse_image_condition ありがとうございました。

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  • 回答No.2
  • ojisan7
  • ベストアンサー率47% (489/1029)

「G_iがG_(i-1)の正規部分群なのはどうしてか」ということですか。 これは、明らかだと思います。G_(i-1)から、G_(i-1)/N への自然な同型写像を、 φ:G_(i-1)→G_(i-1)/N としたとき、第一同型定理より、G_(i-1)/Nの正規部分群G_i/Nの逆像は、 φ^[-1](G_i/N)=G_i となり、しかも、G_iはG_(i-1)の正規部分群となります。 第一同型定理はいろいろな場面でよく使われる、重要な定理です。

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  • 回答No.1
  • ur2c
  • ベストアンサー率63% (264/416)

( G_{i-1} / N ) / ( G_i / N ) が存在して、それが可換群だからでは? つまり、ほんとは下のように書くべきだったのでは? [...] ( G_{i-1} / N ) / ( G_i / N ) が可換群となるものが存在する。 可換性により、G_i は G_{i-1} の正規部分群。 第3同型定理により ( G_{i-1} / N ) / ( G_i / N ) は G_i / G_{i-1} に同型。

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