可解群の部分群も可解群であることについて

質問

可解群について質問です。

「Gが可解群ならば、部分群H⊂Gもすべて可解群である」

ことの証明の途中で、以下の画像のような関係が出てきました。
手持ちの参考書ではここをそのまま流しているのですが、

私にはなぜそうなるのか分かりません。
解説を交えて詳しく説明していただけると助かります。

よろしくお願いします。

回答No.1

settheory · ベストアンサー

画像の最初の４行はGが可解群であることの定義を述べているだけですね。G_iはG_(i-1)の正規部分群になっていることを、画像のような記号で書いているのでしょう。もっと正確に言うなら、このような有限列があるので、それをとってきたということです。

Gの部分群Hに対して、このような性質をもつ有限列を見つければよいのですが、画像にあるH_iがそれになっているようですね。正規部分群の定義を思い出せばすぐできると思います。

さらっと書いてあるときは本当に自明であることが多いので、出てくる言葉、概念の定義を丁寧に追っていけば大概は自力でできると思います。