群論の問題です

質問

(１)G, G′ を群，H を G の正規部分群とする．f : G → G′ が準同型写像のとき f(H)は G′ の正規部分群か否か？
正規部分群ならば証明し，そうでないならば反例をあげよ．

(２) n を正整数とするとき，Aut(Z/nZ) ≅ (Z/nZ)＾ｘ を示せ．

この二問がわかりません。教えていただければ幸いです。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

(1)
Aを群で、部分群で正規でないものを持つものとする。Aの正規でない部分群Bをとる。
BはBの正規部分群。f: B→Aを恒等写像とすれば、fは準同型であるが、f(B) = BはAの正規部分群ではない。

(2)
Z/nZの自己同型写像 fは、f(1)だけ決定すると後は全て決定される。なぜなら f(m) = m *f(1)でなければならないから。

fが Z/nZの自己同型写像とすると、1はZ/nZの生成元であるので、f(1)もZ/nZの生成元でなければならない。従ってf(1)はZ/nZの単元（可逆元）でなければならない。逆に f(1)がZ/nZの単元とすると、fは全射となり、fはZ/nZの自己同型となる（詳しくは検証せよ）。

f(1) = a で定められるZ/nZの自己同型をf[a] で書くと、f[ab] = f[b]○f[a]の関係が成り立つ。従って g: Aut(Z/nZ) →(Z/nZ)^x を、 g(f[a]) = aで定めれば、これは群同型になる。