- ベストアンサー
群論の問題です
(１)G, G′ を群，H を G の正規部分群とする．f : G → G′ が準同型写像のとき f(H)は G′ の正規部分群か否か？ 正規部分群ならば証明し，そうでないならば反例をあげよ． (２) n を正整数とするとき，Aut(Z/nZ) ≅ (Z/nZ)＾ｘ を示せ． この二問がわかりません。教えていただければ幸いです。
- RINTYO0111
- お礼率0% (0/2)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数0
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
(1) Aを群で、部分群で正規でないものを持つものとする。Aの正規でない部分群Bをとる。 BはBの正規部分群。f: B→Aを恒等写像とすれば、fは準同型であるが、f(B) = BはAの正規部分群ではない。 (2) Z/nZの自己同型写像 fは、f(1)だけ決定すると後は全て決定される。なぜなら f(m) = m *f(1)でなければならないから。 fが Z/nZの自己同型写像とすると、1はZ/nZの生成元であるので、f(1)もZ/nZの生成元でなければならない。従ってf(1)はZ/nZの単元（可逆元）でなければならない。逆に f(1)がZ/nZの単元とすると、fは全射となり、fはZ/nZの自己同型となる（詳しくは検証せよ）。 f(1) = a で定められるZ/nZの自己同型をf[a] で書くと、f[ab] = f[b]○f[a]の関係が成り立つ。従って g: Aut(Z/nZ) →(Z/nZ)^x を、 g(f[a]) = aで定めれば、これは群同型になる。
関連するQ&A
- 群論の問題です。
群論の問題です。 整数全体がなす加法群Zに対して、G＝Z×Z＝{ ( a,b ) ｜a,b ∈ Z } とおき これを成分ごとの加法 ( a , b )＋( a' , b' )＝( a＋a' , b＋b' ) により群と見なす。 ２元 x = ( 2 , 4 ) , y = ( 6 , 8 )により生成される群Gの部分群Hとし、 写像 φ : G → H を φ(( a , b )) = ( 2a ＋ 6b , 4a ＋ 8b) = ax ＋ by により定義する。ことのきつぎの問いに答えよ。 (１)φは群の同型写像であることを示す。 (２)φによるHの像 K＝ φ (H) ＝ { φ ( h ) | h ∈ H } はGの部分群であることを示す。 (３)GのKによる剰余群 G / H に対して群の同型 G / H ≅ Z / mZ × Z / nZ がなりたつような自然数 m , n で m が n の約数となるものを求める。 (１)、(２)は示すことができたのですが、 (３)の考え方がよくわかりません。 できるだけわかりやすく教えていただけるとうれしいです… よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 群論の同型定理について
同型定理Ｂの証明について分からないので教えてください。 画像内の証明は参考書の証明です。 この過程が分かりません。 埋め込み写像とか、写像iやρが準同型になる理由など… KerfやImfが分かったところで、なぜ正規部分群になるのでしょうか？ 1行ずつ分かりやすく説明していただけたら助かります。 正規部分群、核および像、準同型定理がどういうものかはなどは理解しています。 色々と分からないのですがよろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 代数学の、群の問題を教えて下さい。
nは正の整数とする。Gは位数nの巡回群とする。この問題では、GはZ/nZに同型であることを示す。 (1)Gの生成元xをとり(つまりG=<x>)、群の準同型定理f:Z→Gをm∈Zに対してf(m)=x^mで定める。このときfは全射であることを示しなさい。またKerf=nZであることを示しなさい。 (2)fに準同型定理を適用して、Z/nZ≃Gを示しなさい。 という問題です。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 大学の数学（代数）の問題です。
問）群G1からG2への写像f：G1→G2は群準同型写像であるか。群準同型写像であるならばｆの像Imf及び核Kerfを求め、群準同型写像でなければその理由を述べよ。（Snをｎ次対称群、Zは整数全体のなす集合あるいは加法群） (1)G1＝S5、G2=Z；ｆ（σ）＝ｌ（σ）（σ∈S5）。ここに、ｌ（σ）はσを互いに素な巡回置換の積で表した時に現れる、長さの最も大きい巡回置換の長さ。 (2)G1=Z/９Z、G2=Z/３Z；ｆ（ｘ＋９Z）＝２ｘ＋３Z（ｘ∈Z） です。誰かわかる方解答よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 群論の基礎で・・・
今群論を勉強しているのですが、勉強を進めていてわからないところがいくつかあって困っています。どなたか教えていただけると嬉しいです。 (1)「Gを有限群、Hをその部分群、とする時 Gの元の位数、は、Gの位数、の約数である。」 と、あったのですが、これは何故でしょうか。。 (2)「写像fを、R(実数)-{0} → C(複素数)-{0} θ → exp(2πiθ) で定めるとき、これは準同型写像」 とあったのですが、準同型の定義に従って、R-{0}の２つの元としてθ,ψをとってきて、f(θψ)=f(θ)f(ψ)が成立することを確認しようとすると、(左辺)=exp(2πiθψ)、(右辺)=exp(2πiθ)・exp(2πiψ)=exp(2πi(θ+ψ))となり、この２つが等しいとは思えません。 f(θψ)=f(θ)f(ψ)が成り立つためには、R-{0}内での演算は＋(足し算)で、C-{0}内での演算は×(掛け算)、というふうに演算が定められている、と、考えるのかな？と思ったのですが、違う演算が定義された群同士を結ぶ写像が準同型になる、というのは許されるのですか？ 長くてわかりにくい文章になってしまいすみません。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 同型の証明です。
群論の問題なのですが… 整数全体がなす加法群Zに対して、G＝Z×Z＝{ ( a,b ) ｜a,b ∈ Z } とおき これを成分ごとの加法 ( a , b )＋( a' , b' )＝( a＋a' , b＋b' ) により群と見なす。 ２元 x = ( 2 , 4 ) , y = ( 6 , 8 )により生成される群Gの部分群Hとし、 写像 φ : G → H を φ(( a , b )) = ( 2a ＋ 6b , 4a ＋ 8b) = ax ＋ by により定義する。ことのきつぎの問いに答えよ。 (１)φは群の同型写像であることを示す。 (２)φによるHの像 K＝ φ (H) ＝ { φ ( h ) | h ∈ H } はGの部分群であることを示す。 (３)GのKによる剰余群 G / K に対して群の同型 G / K ≅ Z / mZ × Z / nZ がなりたつような自然数 m , n で m が n の約数となるものを求める。 (１)、(２)は示すことができました。 (３)の証明の方法がよくわかりません… できるだけわかりやすく教えていただけるとうれしいです。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
