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群論の交換子群について

(問題) Gを群,HをGの部分群とする.また,[G,G]をGの交換子群とするとき, [G,G]⊂H⇔H\GかつG/Hがアーベル群 となることを示せ. ここで,H\GはHがGの正規部分群であることを表し(記号が環境依存文字だったので\で代用させていただきました),G/HはHによる商群とする. (質問) この証明なのですが,H\Gは証明できました,しかし,G/Hがアーベル群であることが示せません. 手持ちの参考書には,任意のGの元a,bに対して, {a^(-1)b^(-1)ab}H=H・・・(1) であるから, (aH)(bH)=abH=ba{a^(-1)b^(-1)ab}H=baH=(bH)(aH) よって,G/Hはアーベル群である. とあるのですが,(1)が示せません. (1)が示せれば後は簡単なのですが,ここが理解できないので困っています. a^(-1)およびb^(-1)はそれぞれa,bの逆元です. どなたか群論に詳しい方よろしくお願いします.

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  • 回答No.1

a^(-1)b^(-1)ab ∈ H から明らか

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