アーベル群（訂正）

質問

Ｈ，Ｋ:アーベル群
Ｈ×Ｋ＝｛（ｈ，ｋ）｜ｈ∈Ｈ，ｋ∈Ｋ｝
Ｈ×Ｋ∋ｘ１＝（ｈ１，ｋ１），ｘ２＝（ｈ２，ｋ２）
ｘ１＋ｘ２＝（ｈ１＋ｈ２，ｋ１＋ｋ２）
この＋に関して、Ｈ×Ｋはアーベル群であることを示したいんです。

アーベル群の定義
（Ｇ，＋）はアーベル群⇔（ⅰ）（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）
　　　　　　　　　　　　（ⅱ）ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ
　　　　　　　　　　　　（ⅲ）∃０∈Ｇ　ｓｔ．ａ＋０＝ａ
　　　　　　　　　　　　（ⅳ）Ｇの各元ａに対して
　　　　　　　　　　　　　　　ａ＋ａ´＝０をみたすＧの元ａ´が存在する。
自分の見解としては、上記の定義の合うようにＨ，Ｋかろそれぞれいくつかの元を取ってきて式変形をしていき、Ｈ×Ｋにおいても定義（ⅰ）～（ⅳ）を示していくというものです。しかし、「＋に関して」というところに躓いてしまい証明することが出来ません。
また、定義の（ⅰ）～（ⅳ）全てを証明しなければアーベル群を証明することが出来ないのかというのも疑問です。

回答No.1

handarin · ベストアンサー

意味が分かれば、それほど難しい問題ではなので、
おそらくどこかで何か勘違いしてるんじゃないかと思うんですが…
ちなみに(i)～(iv)の条件は、特定の元a,b,cについて成り立つものではなく
「任意の元」a,b,c,について成り立つものだと言うことをお忘れなく。

百聞は一見にしかず、実際に(ii)と(iii)を証明してみます。

(ii)
a1=(h1,k1),a1=(h2,k2)∈Ｈ×Ｋを任意にとると
a1+a1=(h1,k1)+(h2,k2)=(h1+h2,k1+k2)=(h2+h1,k2+k1)=(h2,k2)+(h1,k1)=a2+a1
(iii)
0=(0,0)とおけばこれが(iii)の零元の条件を満たす。
実際a=(h,k)∈Ｈ×Ｋについて
a+0=(h,k)+(0,0)=(h+0,k+0)=(h,k)=0である。

分かっていれば、かなりくどい証明ですが、
(i),(iv)において何を示すべきか多少は伝わったでしょうか？

お礼

私は群論に関してほとんど無知なのでhandarinさんのような解説をしていただけると大変助かります。
本当にありがとうございました。
群論頑張ります。

回答No.3

koko_u_

群の定義で「＋」という記号が単なる写像の略記であることに注意すればよいでしょう。

Ｈで定義された「＋」とＫで定義された「＋」、Ｈ×Ｋで定義された「＋」すべてが異なるという点のみが、
ひっかかる箇所と言えるのではないでしょうか。

お礼

私は群論がとても苦手です。
しかし、koko_u_さんのような解説をしていただけると大変助かります。本当にありがとうございました。群論頑張ります。

回答No.2

old_sho

当然に4つすべてを証明しなければ、アーベル群ではありません。

疑問なのはむしろ、何処につまずく所があるかです。失礼とは思いますが、つまずく所を見せていただきたい。