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部分群の問題なんですが・・・
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群とは（部分群でも）ある演算に閉じていて 単位元、逆元、が存在。演算に対する結合法則が成り立つ という性質を使います。 (i) ａ～ａの証明 ａ^(-1)*a＝ｅ∈H （なぜならばＨは部分群だから単位元を要素に持つ） (ii) 「ａ～ｂならばｂ～ａ」 の証明 （当たり前といわないように。左右入れ 替えて成り立つかどうか？） ａ～ｂ が成り立つとすると a＾(-1)b∈H Ｈは群だからＨの元には逆元も存在する。 a＾(-1)b の逆元は（a＾(-1)b）^(-1)＝b＾(-1)a∈H これは ｂ～ａ が成り立つことを意味する。 (iii) ａ～ｂ，ｂ～ｃ ならばａ～ｃ の証明 ひとつぐらい残しておきます。自分でやらないと力はつかないと思いますから。 （２）はそのままでしょう。 a＾(-1)b∈H が成り立つようなｂを集めた集合 ｛ｂ｜a＾(-1)b∈H ｝ 簡略にｂ＝ａＨ なんて書き方もしたような・・・
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- liar_adan
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(1)同値律を満たすというのは、「～」が同値関係になるということ。 で、同値関係になるというのは、次の3条件を満たすことです。 (i) a～a (ii) a～b ⇒ b～a (iii) a～b , b～c ⇒ a～ｃ それぞれ反射律、対称律、推移律といったかな。 「～」の定義から考えて、これら3つが成り立っていることを表せば 同値律を満たすことの証明になります。Hが部分群であることを使えば できると思います。やってみてください。 (2)aの同値類というのは、Gの元 a に対して、aと同値となる元すべての 集合を指します。記号で書けば{x∈G|a～x}です。 (これは必ずしも部分群ではありません） これを、～の定義を考え、Hを使って表現すればいいわけです。
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