部分群の問題について

質問

教科書の章末問題を学習中の者です。

「1の6乗根全体の群Uの部分群を全て求めよ」
という問題にあたりました。

自分の回答としては、
（以下、a^xはaのx乗をあらわすものとします。）

U =｛1,a,a^2,a^3,a^4,a^5｝
ただし aは、a^6 = 1 を満たすものとする。

という風にUを置き、部分群の条件を考え、

H =｛1,a^2,a^4｝ --(1)
H =｛1,a^3｝ --(2)
H =｛1,a,a^5｝ --(3)

という3つを部分群と解答しました。

巻末の解答には (3)はのっていなかったので、
(3)は間違いなのかな、と疑問に思っています。

自分の理解では(3)の例は、

A. 単位元1 が存在している。
B. 1の逆元は1、a の逆元はa^5、a^5の逆元はa。
(∵ a・a^5 = a^6 = 1 ）
C. また・に関して閉じている。

という部分群の条件を満たすので(3)もUの部分群になっている、
と思うのですが。

どなたか解説をお願いできないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.1

ranx · ベストアンサー

> C. また・に関して閉じている。
閉じていませんね。
a・a=a^2　は含まれないでしょう？

お礼

あっ！！
自分自身の項との演算がぬけていました！＾＾；
a^5 ・ a^5 = a^10 = a^4
もHに含まれていませんものね。

ありがとうございます。
助かりました。